Аналитический способ

Цель: ознакомиться и получить навык определения площадей аналитическим способом.

Вычисление площади этим способом производится по формулам геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. Исходными данными для вычисления служат измеренные в натуре углы или их функции – координаты.

Если участок представляет собой простейшую геометрическую фигуру (треугольник, трапецию и др.), то площадь его вычисляют по общеизвестным формулам геометрии или тригонометрии [4,5]. Площади многоугольников вычисляют обычно по координатам вершин (рис. 1).

Рис. 1. Вычисление площади многоугольника по координатам

Площадь замкнутого контура (1-2-3-4-5-6) в этом случае определяется по формулам [5]:

; (1)

, (2)

где i – порядковый номер вершин контура от 1 до n; n – число вершин полигона; x, y – координаты вершин контура.

При подстановке i = 1 получим в первой формуле x₀ - x₂, а второй y₂ - y₀, где вместо x₀ и y₀ необходимо подставить x_n и y _n; если при подстановке i = n получим в первой формуле x_n-1 - x_n+1, во второй y_n+1 - y_n-1, где вместо x_n+1, y_n+1 необходимо подставить x₁ и y₁ (так как нулевая точка предшествует первой, а в данном случае первой вершине предшествует вершина n; точка n + 1 следует за точкой n, а в данном случае за вершиной n следует первая вершина) [4,5]. Вычисление площади производится для контроля по обеим формулам.

В табл. 1 приведен пример расчета площади при помощи аналитического способа. В соответствии с рис. 1 в графах 1 и 2 табл. 1 заданы прямоугольные координаты каждой вершины замкнутого полигона.

Разности координат x_i-1 - x_i+1 и y_i+1 - y_i-1 с соответствующим знакомзапишем в графы 3 и 4. Например, для вершины 1 разность будет складываться из координаты последующей вершины 2 (Х₂ = 209,43) и координаты предыдущей вершины 6 (Х₆ = 209,43). Результат перемножения соответственно граф 2 и 3, а также 1 и 4 запишем в графы 5 и 6.

Таким образом, площадь участка составляет 141269,0998 м² или 14,1 га. Вычисление разностей координат контролируется тем, что алгебраическая сумма, как разностей координат X, так и разностей координат Y должна равняться нулю, либо при составлении разностей каждая координата входит как со знаком плюс, так и со знаком минус. Совпадение сумм произведений в обоих случаях указывает на отсутствие ошибок вычислений.

Сумма произведений соответствует удвоенной площади полигона в квадратных метрах, так как координаты даны в метрах.

Точность аналитического способа 1/1000. При определении площади этим способом на точность влияют только погрешности измерений на местности.

Таблица 1

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: