ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Требования к вычислительным алгоритмам (корректность, обусловленность и т.д.) и к их программным реализациям.Вычислительный алгоритм – точное предписание действий над входными данными, задающие вычислительный процесс, направленный на преобразование входных данных в полностью определяемый этими данными результат. Вычислительный алгоритм складывается из 2-х частей: 1. Абстрактный – записанный математическими знаками 2. Программный – программа, записанная на языке программирования К вычислительным алгоритмам в целом предъявляются требования корректности и хорошей обусловленности. Требования к абстрактным вычислительным алгоритмам: 1. Экономичность (число операций) 2. Точность (обеспечение приемлемой погрешности) 3. Экономия памяти (большие массивы данных) 4. Простота алгоритма Требования к программным реализациям: 1. Надежность (отсутствие ошибок, получение нужного результата) 2. Работоспособность (способность программы выявлять недопустимые данные и обнаруживать критические для алгоритма ситуации) àa àb if (b’ = 0) c = a/b else MessageBox show (“…”) cà 3. Переходимость (возможность работы на различных платформах и операционных системах без изменений) 4. Поддерживаемость (легкость модификации программы) 5. Простота в использовании Схема 1) Постановка задачи 1.1. Формулировка задачи, выбор параметров 1.2. Определение цели и критериев, качеств, описание задачи 2) Составление математического описания 2.1. Аналитические методы 2.2. Экспериментальные методы 2.3. Экспериментально-аналитические методы 3) Составление алгоритма и «написание» программы 3.1. Выбор численных методов 3.2. Составление алгоритма 3.3. Программирование 3.4. Отладка программы 4) Установление адекватности модели объекту 5) Использование модели
10) Решение нелинейных уравнений – общие вопросы (форма записи задачи, основные этапы решения нелинейных уравнений, методы решения нелинейных уравнений). f(x,P1,P2,P3,Pn)=0 Решение нелинейных уравнений 1этап) Локализация отрезков: Определить интервал изменения функции на котором существует ровно один корень. Локализация: 1теорема) Если значение функции на концах интервалов имеют разные знаки, то на нем будет как минимум 1 корень, f(a)*f(b)<0 2)теорема) Если производная функции на концах отрезка существует и сохраняет свой знак в пределах отрезка, то на нем будет ровно 1 корень 2этап) Поиск корня на заданном отрезке локализации с заданной точностью, которая определяется 3 способами: 1)по ширине интервала a,b: |b-a|<E 2)по абсолютной погрешности значения функции |f(x)|<E 3)относительная погрешность (в долях или процентах) |(f(x)-y)/y|<E На 2 этапе используются конкретные методы решения нелинейных уравнений: -бисекции(половинного деления, -хорд -касательных -метод простых итераций
Метод бисекции 1. Разбиваем отрезок пополам: 2. Вычисление погрешности δ. 3. Сравнение погрешности с допустимой ε = 0.5% Если δ < ε -> вывод результата Если δ > ε -> возвращение в начало Достоинства метода: гарантированная сходимость и простота реализации. Недостаток: низкая скорость сходимости. Справедливы для возрастающей функции. В случае убывающей функции условие будет обратным: Метод хорд Предназначен для уточнения корня на интервале [а,b]. Очередное приближение согласно этому методу задается в точке x0, где пересекается прямая линя проведенная через точки f(a), f(b). Эта линия называется хордой. Соотношение, с помощью которого определяется значение последующего приближения можно вывести из обобщенного уравнения прямой линии, проходящей через 3 точки. После некоторых преобразований получаем Затем по найденному значению xi определяют значение функции f(xi). Если , то процесс решения и нахождения корня уравнения заканчивается, если же условие не выполняется, то производят сужение интервала поиска так, чтобы значения функции на концах отрезка имели разные знаки. После чего вычисляют новое значение приближения и повторяют весь итерационный процесс. Метод быстрее метода бисекции Метод касательных. Метод основан на замене функции в точке начального приближения x0=a или x0=b касательной, пересечение которой с осью x дает последующее приближение xi Уравнение касательной Из этого уравнения получаем точку пересечения Достоинства: простота, логическая стройность, высокая скорость Недостатки: необходимость вычисления производной, локальная сходимость
(3.1) где – заданная функция; – неизвестная величина; – параметры задачи. От исходного уравнения (3.1) выполняется переход к эквивалентному уравнению . (3.7) Выбирается каким-либо способом грубо начальное приближенное значение корня и подставляется в правую часть уравнения (3.7). Получается новое приближение . Подставляя каждый раз новое значение корня в (3.7), получают последовательность значений
. (3.8)
Рис. 3.7. Метод простых итераций
Из графиков (рис. 3.7) видно, что возможен как сходящийся, так и расходящийся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной . Чем меньше вблизи корня , тем быстрее сходится процесс. Установим критерий сходимости математически. Будем считать, что в итерационной формуле (3.8) , где и – отклонения и приближения от корня. Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня , то функцию можно приближенно представить двумя членами ряда Тейлора. Тогда итерационная формула (3.8) примет вид , но так как является корнем уравнения, то и, следовательно, . Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо выполнить условие < или < . (3.9) Переход от уравнения (3.1) к уравнению (3.7) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции . При таком переходе необходимо построить функцию так, чтобы выполнялось условие сходимости (3.9). Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (3.1) к уравнению (3.8). Умножим левую и правую части уравнения (3.1) на произвольную константу и добавим к обеим частям неизвестное . При этом корни исходного уравнения не изменятся . (3.10) Введем обозначение (3.11) и перейдем от соотношения (3.10) к уравнению (3.7). Произвольный выбор константы позволит обеспечить выполнение условия сходимости (3.9). Желательно выбрать величину такой, чтобы < < , тогда сходимость итерационного процесса будет двухсторонней (рис. 3.7, в). В этом случае в наиболее простом виде можно представить критерий окончания итерационного процесса < , (3.12) где – заданная абсолютная погрешность вычисления корня. Если функция выбрана в виде (3.11), то производная по от этой функции будет . Наибольшую скорость сходимости получим при , тогда и итерационная формула (3.8) переходит в формулу Ньютона Метод Ньютона имеет самую высокую скорость сходимости из всех итерационных процессов.
Метод Крамера
Метод Гаусса
18.Методы решения систем линейных алгебраических уравнений – итерационные методы (Якоби, Зейделя). Якоби: Задаемся начальными приближениями всех неизвестных } Подставляем эти значения в правую часть системы неизвестных на след. Итерацию. Проверяем погрешность Зейделя Отличается тем, что в правую часть подставляются Х уже найденные на текущей итерации.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|