Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Требования к вычислительным алгоритмам (корректность, обусловленность и т.д.) и к их программным реализациям.




Вычислительный алгоритм – точное предписание действий над входными данными, задающие вычислительный процесс, направленный на преобразование входных данных в полностью определяемый этими данными результат.

Вычислительный алгоритм складывается из 2-х частей:

1. Абстрактный – записанный математическими знаками

2. Программный – программа, записанная на языке программирования

К вычислительным алгоритмам в целом предъявляются требования корректности и хорошей обусловленности.

Требования к абстрактным вычислительным алгоритмам:

1. Экономичность (число операций)

2. Точность (обеспечение приемлемой погрешности)

3. Экономия памяти (большие массивы данных)

4. Простота алгоритма

Требования к программным реализациям:

1. Надежность (отсутствие ошибок, получение нужного результата)

2. Работоспособность (способность программы выявлять недопустимые данные и обнаруживать критические для алгоритма ситуации)

àa

àb

if (b’ = 0)

c = a/b

else MessageBox show (“…”)

3. Переходимость (возможность работы на различных платформах и операционных системах без изменений)

4. Поддерживаемость (легкость модификации программы)

5. Простота в использовании

Схема

1) Постановка задачи

1.1. Формулировка задачи, выбор параметров

1.2. Определение цели и критериев, качеств, описание задачи

2) Составление математического описания

2.1. Аналитические методы

2.2. Экспериментальные методы

2.3. Экспериментально-аналитические методы

3) Составление алгоритма и «написание» программы

3.1. Выбор численных методов

3.2. Составление алгоритма

3.3. Программирование

3.4. Отладка программы

4) Установление адекватности модели объекту

5) Использование модели

 

10) Решение нелинейных уравнений – общие вопросы (форма записи задачи, основные этапы решения нелинейных уравнений, методы решения нелинейных уравнений).

f(x,P1,P2,P3,Pn)=0

Решение нелинейных уравнений

1этап) Локализация отрезков: Определить интервал изменения функции на котором существует ровно один корень.

Локализация:

1теорема) Если значение функции на концах интервалов имеют разные знаки, то на нем будет как минимум 1 корень, f(a)*f(b)<0

2)теорема) Если производная функции на концах отрезка существует и сохраняет свой знак в пределах отрезка, то на нем будет ровно 1 корень

2этап) Поиск корня на заданном отрезке локализации с заданной точностью, которая определяется 3 способами:

1)по ширине интервала a,b: |b-a|<E

2)по абсолютной погрешности значения функции |f(x)|<E

3)относительная погрешность (в долях или процентах) |(f(x)-y)/y|<E

На 2 этапе используются конкретные методы решения нелинейных уравнений:

-бисекции(половинного деления,

-хорд

-касательных

-метод простых итераций

 

Метод бисекции

1. Разбиваем отрезок пополам:

2. Вычисление погрешности δ.

3. Сравнение погрешности с допустимой ε = 0.5%

Если δ < ε -> вывод результата

Если δ > ε -> возвращение в начало

Достоинства метода: гарантированная сходимость и простота реализации.

Недостаток: низкая скорость сходимости.

Справедливы для возрастающей функции. В случае убывающей функции условие будет обратным:

Метод хорд

Предназначен для уточнения корня на интервале [а,b]. Очередное приближение согласно этому методу задается в точке x0, где пересекается прямая линя проведенная через точки f(a), f(b). Эта линия называется хордой. Соотношение, с помощью которого определяется значение последующего приближения можно вывести из обобщенного уравнения прямой линии, проходящей через 3 точки.

После некоторых преобразований получаем

Затем по найденному значению xi определяют значение функции f(xi). Если , то процесс решения и нахождения корня уравнения заканчивается, если же условие не выполняется, то производят сужение интервала поиска так, чтобы значения функции на концах отрезка имели разные знаки.

После чего вычисляют новое значение приближения и повторяют весь итерационный процесс. Метод быстрее метода бисекции

Метод касательных.

Метод основан на замене функции в точке начального приближения x0=a или x0=b касательной, пересечение которой с осью x дает последующее приближение xi

Уравнение касательной

Из этого уравнения получаем точку пересечения

Достоинства: простота, логическая стройность, высокая скорость

Недостатки: необходимость вычисления производной, локальная сходимость

 

  1. Решение нелинейных уравнений – метод простых итераций.

(3.1)

где – заданная функция; – неизвестная величина; – параметры задачи.

От исходного уравнения (3.1) выполняется переход к эквивалентному уравнению

. (3.7)

Выбирается каким-либо способом грубо начальное приближенное значение корня и подставляется в правую часть уравнения (3.7). Получается новое приближение

.

Подставляя каждый раз новое значение корня в (3.7), получают последовательность значений

 

. (3.8)

 

 

Рис. 3.7. Метод простых итераций

 

Из графиков (рис. 3.7) видно, что возможен как сходящийся, так и расходящийся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной . Чем меньше вблизи корня , тем быстрее сходится процесс.

Установим критерий сходимости математически. Будем считать, что в итерационной формуле (3.8)

,

где и – отклонения и приближения от корня. Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня , то функцию можно приближенно представить двумя членами ряда Тейлора. Тогда итерационная формула (3.8) примет вид

,

но так как является корнем уравнения, то и, следовательно,

.

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо выполнить условие

<

или

< . (3.9)

Переход от уравнения (3.1) к уравнению (3.7) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции . При таком переходе необходимо построить функцию так, чтобы выполнялось условие сходимости (3.9).

Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (3.1) к уравнению (3.8). Умножим левую и правую части уравнения (3.1) на произвольную константу и добавим к обеим частям неизвестное . При этом корни исходного уравнения не изменятся

. (3.10)

Введем обозначение

(3.11)

и перейдем от соотношения (3.10) к уравнению (3.7).

Произвольный выбор константы позволит обеспечить выполнение условия сходимости (3.9). Желательно выбрать величину такой, чтобы < < , тогда сходимость итерационного процесса будет двухсторонней (рис. 3.7, в). В этом случае в наиболее простом виде можно представить критерий окончания итерационного процесса

< , (3.12)

где – заданная абсолютная погрешность вычисления корня.

Если функция выбрана в виде (3.11), то производная по от этой функции будет

.

Наибольшую скорость сходимости получим при , тогда

и итерационная формула (3.8) переходит в формулу Ньютона

Метод Ньютона имеет самую высокую скорость сходимости из всех итерационных процессов.

 

Метод Крамера

Метод Гаусса

18.Методы решения систем линейных алгебраических уравнений – итерационные методы (Якоби, Зейделя).

Якоби:

Задаемся начальными приближениями всех неизвестных

}

Подставляем эти значения в правую часть системы неизвестных на след. Итерацию.

Проверяем погрешность

Зейделя

Отличается тем, что в правую часть подставляются Х уже найденные на текущей итерации.

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных