Как перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную?

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример: Сложим числа 15 и 6 в шестнадцатеричной системе счисления: F₁₆ + 6₁₆15 + 6 = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈;

Ответ: = 15₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

10101₂= 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1=21,

25₈ = 2*8¹ + 5*8⁰ = 16 + 5 = 21,

15₁₆ = 1*16₁ + 5*16₀ = 16+5 = 21.

Вычитание

Пример: Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ – 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Проверка: Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^–1 = 141,5;

215,4₈ = 2*8² + 1*8¹ + 5*8⁰ + 4*8^–1 = 141,5;

8D,8₁₆ = 8*16¹ + D*16⁰ + 8*16^–1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример: Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5*6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Проверка: Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30; 36₈ = 3•8¹ + 6•8⁰ = 30.

Пример: Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115*51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

Проверка: Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;

13351₈ = 1*8⁴ + 3*8³ + 3*8² + 5*8¹ + 1*8⁰ = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример: Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30: 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример: Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351₈:163₈

Ответ: 5865: 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.

Проверка: Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6*8¹ + 3*8⁰ = 51.

9 Компьютерное представление целых чисел.

Целые числа – это простейшие числовые типы данных, с которыми оперирует компьютер. Для представления целых чисел используются специально для них предназначенные типы данных.

Специальные типы для целых чисел вводятся для:

· эффективного расходования памяти;

· повышения быстродействия;

· введения операции деления нацело с остатком вместо приводящего к потере точности обычного деления вещественных чисел.

В подавляющем большинстве задач, решаемых с помощью ЭВМ, многие действия сводятся к операциям над целыми числами. Сюда относятся задачи экономического характера, при решении которых данными служат количества акций, сотрудников, деталей, транспортных средств и т.д. Целые числа используются для обозначения даты и времени, и для нумерации различных объектов: элементов массивов, записей в базах данных, машинных адресов и т.д.

Для компьютерного представления целых чисел обычно используется несколько различных типов данных, отличающихся друг от друга количеством разрядов. Чаще всего используется восьми-, шестнадцати– и тридцатидвухразрядное представление чисел (один, два или четыре байта соответственно).

Для целых чисел существуют два представления: беззнаковое (только для неотрицательных целых чисел) и со знаком. Очевидно, что отрицательные числа можно представлять только в знаковом виде.

Различие в представлении целых чисел со знаком и без знака вызвано тем, что в ячейках одного и того же размера в беззнаковом типе можно представить больше различных положительных чисел, чем в знаковом.

Например, в байте (8 разрядов) можно представить беззнаковые числа от 0 до 255.

Максимальное число, записанное в восьми разрядах ячейки соответствует восьми единицам и равно:

111111112 = 1*2⁷ + 1*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 255.

Таким образом, для беззнаковых типов нижняя граница диапазона значений всегда равна 0, а верхнюю границу диапазона допустимых значений можно подсчитать, зная количество разрядов, занимаемых элементами данного типа.

Верхняя граница диапазона допустимых значений для беззнаковых типов рассчитывается по формуле 2^k – 1, где k – количество разрядов в ячейке

Знаковые положительные числа в байте можно представить только от 0 до 127.

Старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные

7 разрядов под само число. Максимальное число в знаковом представлении соответствует семи единицам и равно:

1111111₂ = 1*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 127.

Поэтому, если известно, что некоторая числовая величина является неотрицательной, то лучше рассматривать ее как беззнаковую.

Диапазон допустимых значений для знаковых типов рассчитывается по формулам:

Нижняя граница допустимых значений: 2^k-1;

Верхняя граница допустимых значений: 2^k-1 – 1, где k – количество разрядов в ячейке.

Рассмотрим алгоритм представления в компьютере целых положительных чисел.

Пример: Требуется получить внутреннее 8-разрядное представление десятичного числа 54.

1. Для этого целое положительное число переводится в двоичную систему счисления.

2. Полученное двоичное число записывается в 8 разрядах так, что в младшем разряде ячейки находится младший разряд числа.

3. Двоичное число дополняется, если это необходимо, слева нулями до соответствующего числа разрядов (8-ми, 16-ти, 32-х и более);

Мы рассмотрели компьютерное представление целых положительных чисел.

Следующий вопрос: как представляются в компьютере целые отрицательные числа.

В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Использование кодов позволяет свести операцию вычитания чисел к операции поразрядного сложения кодов этих чисел.

Применяются прямой, обратный и дополнительный коды чисел.

К кодам выдвигаются следующие требования:

1) Разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой.

2) Для записи кода знака в разрядной сетке отводится фиксированный, строго определенный разряд.

Например, если за основу представления кода взят один байт, то для представления числа будет отведено 7 разрядов, а для записи кода знака один разряд. Знаковым разрядом является старший разряд в разрядной сетке.

Прямой код

Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1.

Пример. В случае, когда для записи кода выделен один байт, для числа +1101 прямой код 0,0001101, для числа -1101 прямой код 1,0001101.

Обратный код

Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом.

Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.

Пример.

Для числа +1101 прямой код 0,0001101; обратный код 0,0001101.

Для числа -1101 прямой код 1,0001101; обратный код 1,1110010.

Дополнительный код

Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом.

Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.

Пример.

Для числа +1101 Для числа -1101

прямой код 0,0001101; 1,0001101;

обратный код 0,0001101; 1,1110010.

дополнительный код: 0, 0001101 1,1110011

Итак, все целые отрицательные числа в компьютере представляются дополнительным кодом.

10 Представление вещественных чисел

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые знак, порядок и мантиссу. В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа (0 - если число положительное, 1 - если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в коде со сдвигом, а мантисса - в нормализованном виде, своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из 16 двоичных разрядов:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: