Индийская математика – опыт соседей плюс свежие идеи

Примерно в 500 году до н.э. в Индии была разработана новая система записи чисел – десятичная позиционная система. К сожалению, автор этой методики современности не известен. В данной системе выполнение различных арифметических действий оказалось значительно проще в сравнении с громоздкими буквенными кодами, как у греков, и с шестидесятеричными, как у вавилонян. По истечению некоторого времени индийцы стали использовать специальные счетные доски, которые были максимально приспособлены к позиционной записи. Кроме того, индийские научные деятели разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, в том числе извлечение квадратных и кубических корней.

Огромный прорыв в области математики Индии приходится на средневековые времена. В этот период работало невероятно большое количество научных деятелей, которые достигли немалых высот. Наибольшим успехом является развитие численных методов и теории чисел. Кроме того, индийцы достигли небывалого успеха в алгебре. Их символика значительно богаче, нежели у Диофанта, но и громоздка, так как слегка засорена излишними словами.

Что касается геометрии, то можно сказать, что она вызывала меньший интерес у научных деятелей, поэтому до современности дошло немного работ по геометрии тех времен. Доказательства теорем в основном состояли из чертежа и слова «смотри». Стоит сказать, что все свои познания касательно геометрии индийцы черпали у греков. Это относится и к тригонометрии, и к формулам объемов и площадей. Немного позже геометрии стали уделять больше внимание, так как она вошла в обиход человека, и без ее применения невозможно было строить дома, делать правильные расчеты площадей и т.п.

Древние индийцы с их высокой интеллектуальностью и склонностью к абстрактному мышлению, естественно, должны были занять ведущее положение в математике. Европа заимствовала начала арифметики и алгебры у арабов (чем и объясняется название «арабские цифры»), а арабы, в свою очередь, заимствовали их у Индии.

Поразительные успехи, достигнутые индийцами в математике, сейчас хорошо известны, и признано, что основы современной арифметики и алгебры были заложены еще в Древней Индии. Примитивный метод использования абак и применение римских и подобных им цифр долгое время задерживали прогресс, пока, наконец, десять индийских цифр, включая знак «нуль», не освободили человеческий разум от этих ограничений и не показали в новом свете значение чисел.

Эти цифровые обозначения были единственными в своем роде и полностью отличались от всех иных обозначений, которые применялись в других странах. Сейчас они получили достаточно широкое распространение, и мы принимаем их как должное, однако в свое время они создали условия для революционного прогресса.

Понадобилось много веков, чтобы эти цифровые обозначения пришли из Индии через Багдад в западный мир,

Сто пятьдесят лет назад, во времена Наполеона, Лаплас писал: «Индия дала нам остроумный метод выражения всех чисел посредством десяти знаков, причем, кроме величины каждого знака, имеет значение и его расположение. Эта глубокая и важная мысль кажется нам сейчас настолько простой, что мы не замечаем ее истинных достоинств, но ведь сама ее простота и большая легкость, которую она придала всем вычислениям, делают нашу арифметику одним из самых полезных изобретений. Мы оценим все величие этого достижения, когда вспомним, что мимо него прошел даже гений Архимеда и Аполлония, двух величайших людей древности»

Возникновение геометрии, арифметики и алгебры в Индии восходит к далеким временам. Прежде всего, существовала, вероятно, какого-то рода геометрическая алгебра, применявшаяся при начертании фигур для ведических алтарей. В древнейших книгах упоминается о геометрическом методе преобразования квадрата в прямоугольник по заданной стороне.

Геометрические фигуры до сих пор широко используются в индусских обрядах. Индия добилась успехов в области геометрии, но в этом отношении Греция и Александрия ее опередили. Пальма первенства принадлежала Индии в области арифметики и алгебры. Изобретатель или изобретатели десятичной системы счисления и знака «нуль» неизвестны. Первое известное нам употребление знака «нуль» мы находим в одной из священных книг, датируемой примерно 200 годом до и. э.

Считается вероятным, что десятичная система счисления была изобретена в начале, христианской эры. Нуль, называемый шунъя, или «ничто», изображался вначале в виде точки, а позже в виде маленького кружка. Он считался таким же числом, как и все остальные. Профессор Холстед следующим образом подчеркивает важнейшее значение этого изобретения: «Значение введения знака «нуль» нельзя переоценить.

Эта способность дать пустому «ничто» не только место, имя, образ, символ, но также и практическое значение типична для народа Индии, страны, из которой все это пришло. Это все равно, что создать из нирваны динамо-машину. Ни одно математическое изобретение не имело такого значения для общего прогресса разума и могущества»

Еще один современный математик красноречиво повествует об этом историческом событии. Данциг пишет в своем труде «Number»: «За этот долгий, почти пятитысячелетний период возвысилось и пало много цивилизаций, каждая из которых оставила в наследие свою литературу, искусство, философию и религию. Но каков же был общий итог достижений в области счета, этой наиболее древней науки, применявшейся человеком? Негибкая цифровая система, такая несовершенная, что она делала прогресс почти невозможным, и система счисления, столь ограниченная в масштабах, что даже для элементарных вычислений требовалось призывать специалиста. Человек пользовался этими системами на протяжении тысячелетий, не сделав в них ни единого ценного улучшения и не внеся пи одной значительной идеи. Даже по сравнению с медленным развитием идей в период средневековья история счета являет странную картину удручающего застоя. Рассматриваемые в этом свете достижения неизвестного индуса, который в первые века нашей эры открыл позиционный принцип, приобретают значение мирового события».

Данциг озадачен тем фактом, что великие математики Греции не натолкнулись на это открытие. «Может быть, все дело в том, что греки питали явное презрение к прикладной науке, предоставляя даже обучение своих детей рабам? Но если это и так, то как могло случиться, что нация, давшая нам геометрию и так далеко продвинувшая эту науку, не создала даже элементарной алгебры? Не странно ли также, что алгебра, этот краеугольный камень современной математики, также зародилась в Индии и примерно в одно время с позиционной системой?»

Ответ на этот вопрос подсказывает профессор Хогбен: «Трудность понимания того факта, почему именно индусы сделали это открытие, почему оно не было сделано математиками древности, почему оно выпало на долю практика, становится непреодолимой лишь в том случае, если мы ищем объяснения интеллектуального прогресса в гении немногих одаренных личностей, а не во всей социальной умственной среде, которая окружает даже самого великого гения. То, что произошло в Индии где-то в начале нашей эры, сотни раз случалось и раньше. Может быть, сейчас это совершается в Советской России. Согласиться с этим [с этой истиной] — значит признать, что каждая культура несет в себе семена своей собственной гибели, если она не уделяет образованию народных масс столько же внимания, сколько и образованию исключительно одаренных людей»

Мы должны, стало быть, предположить, что этими грандиозными изобретениями мы обязаны не просто минутному просветлению некоего случайного гения, значительно опередившего свою эпоху, но что это был, в сущности, продукт социальной среды и что эти изобретения отвечали некой насущной потребности своего времени.

Несомненно, чтобы сделать открытие и удовлетворить потребность эпохи, нужен был гений высшего порядка, но, не будь такой потребности, отсутствовало бы и стремление найти какой-то выход, и даже если бы открытие было сделано, оно было бы забыто или отложено до возникновения более благоприятной обстановки для его использования.

Из ранних санскритских математических произведений, видимо, явствует, что такая потребность существовала, ибо в этих книгах обсуждается много проблем, затрагивающих торговлю и социальные отношения и связанных со сложными вычислениями.

Там есть проблемы, касающиеся налогообложения, кредита и процентов; проблемы торговых объединений, меновой торговли, а также обмена и определения пробы золота. Общество стало сложным, и много людей было занято выполнением административных функций и широкой торговлей.

Это невозможно было делать без простых методов вычисления.

Принятие в Индии нуля и десятичной системы счисления дало простор разуму для быстрого прогресса в арифметике и алгебре. Происходит ряд открытий: введение дробей, умножение и деление дробей; введение и усовершенствование тройного правила; квадраты и квадратные корни (вместе с символом квадратного корня кубы и кубические корни; знак «минус»; таблицы синусов; вычисление значения 3,1416; использование букв алфавита в алгебре для обозначения неизвестных величин; применение простых и квадратных уравнений; исследование свойств нуля.

Эти и другие достижения в математике излагаются в книгах видных математиков, живших между V и XII веками н. э. Имеются также и более древние книги (Баудхаяна около VIII века до н. э.; Апастамба и Катьяяна, оба около V века до н. э.), трактующие геометрические задачи, особенно касающиеся треугольников, прямоугольников и квадратов. Древнейшая из дошедших до нас книг по алгебре написана знаменитым астрономом Арьябхатой, который родился в 476 году н. э.

Он написал эту книгу по астрономии и математике, когда ему было всего двадцать три года. Арьябхата, которого называют иногда изобретателем алгебры, должен был опираться, хотя бы отчасти, на работу своих предшественников. Следующей крупной фигурой в индийской математике был Бхаскара I (522 год н. э.), за ним следует Брахмагупта (628 год н. э.), который был также знаменитым астрономом и изложил законы применения шуньи или нуля, и сделал другие важные открытия. Далее следует ряд математиков, которые писали по вопросам арифметики и алгебры.

Последним крупным математиком был Бхаскара II, который родился в 1114 году и. э. Он написал три книги: по астрономии, алгебре и арифметике. Его книга по арифметике называется «Лилавати», что является странным названием для математического трактата, так как это имя женщины. В книге часто упоминается о молодой девушке, к которой автор обращается со словами «О Лилавати!» и затем разъясняет ей излагаемые задачи. Полагают, без каких-либо определенных доказательств, что Лилавати была дочерью Бхаскары. Стиль книги ясен и прост и доступен пониманию юношества. Эта книга до сих пор используется, отчасти из-за своего стиля, в санскритских школах.

Математические книги продолжали появляться и позднее (Нараяна — 1150 год, Ганеша — 1545 год), но это лишь повторения того, что было сделано. После XII века и до современной эпохи в Индии было проделано очень мало оригинальной работы в области математики.

В VIII веке, в царствование халифа аль-Мансура (753-774 годы), в Багдад отправился ряд индийских ученых, и среди книг, которые они повезли с собой, были труды по математике и астрономии. Вероятно, индийские цифровые обозначения достигли Багдада еще раньше, но это было первое систематическое изложение их, и книги

Арьябхаты и других авторов были переведены на арабский язык. Они оказали влияние на развитие математики и астрономии в арабском мире и способствовали введению там индийских цифровых обозначений. Багдад был в то время крупным центром науки, и туда стекались греческие и еврейские ученые, а вместе с ними проникала греческая философия, геометрия и другие науки. Культурное влияние Багдада ощущалось во всем мусульманском мире от Средней Азии до Испании, и труды индийских математиков в арабских переводах распространились на весь этот обширный район.

Арабы назвали цифровые обозначения «цифрами Хинда» (то есть Индии), а число называется по-арабски «хиндсах», то есть «из Хинда».

Из этого арабского мира новая математика проникла в европейские страны, вероятно через мавританские университеты Испании, и легла в основу европейской математики. В Европе противились применению новых чисел, так как они считались неточными символами, и понадобилось несколько столетий, чтобы они нашли всеобщее применение.

Наиболее ранним известным нам случаем применения их является сицилианская монета 1134 года; в Англии впервые они были применены в 1490 году.

Нет сомнения, что какие-то сведения об индийской математике и особенно о позиционной системе счисления проникли в Западную Азию еще до того, как официальное посольство привезло в Багдад книги. В жалобе одного сирийского ученого монаха, оскорбленного высокомерием некоторых греческих ученых, которые смотрели свысока на сирийцев, содержится одно интересное высказывание. Этот монах, по имени Северус Себохт, жил в монастыре на Евфрате. В своей жалобе, написанной в 662 году н. э., он старается показать, что сирийцы ни в каком отношении не уступали грекам, В качестве примера он ссылается на индийцев:

«Я не стану касаться науки индусов, народа, отличного от сирийцев; их замечательных открытий в астрономии, более глубоких, нежели открытия греков и вавилонян; их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет ведется с помощью 9 знаков. Если бы об этих вещах узнали те, кто думает, будто достигли пределов науки, только потому, что говорят по-гречески, то они убедились бы, что имеются и другие, знающие кое-что»

Говоря о математике в Индии, нельзя не вспомнить об одной выдающейся личности нового времени. Это был Сриниваса Рамануджам. Родившись в семье бедного брахмана в Южной Индии и не имея возможности получить надлежащее образование, он стал клерком в Мадрасской портовой корпорации. Но его природная гениальность все же сказалась, и часы досуга он посвящал математике.

По счастливой случайности он обратил на себя внимание одного математика, который послал некоторые его любительские работы в Кембриджский университет в Англии. Эти работы произвели впечатление на ученых, и Рамануджам получил стипендию. Тогда он бросил свою работу конторщика и поехал в Кембридж, где за очень короткий срок написал работу, отличавшуюся большой ценностью и удивительной оригинальностью.

Королевское общество Англии, несколько вопреки своим обычаям, сделало его своим членом, но два года спустя он умер, вероятно от туберкулеза, в возрасте тридцати трех лет. Я припоминаю, что профессор Джулиан Хаксли писал о нем где-то как о величайшем математике нашего столетия.

Недолгая жизнь Рамануджама и его смерть символизируют условия в Индии. Какое ничтожное число людей из многих миллионов в нашей стране вообще получает хоть какое-нибудь образование; какое множество живет на грани голода; да и из тех, кто получает какое-то образование, большинству не на что рассчитывать, кроме службы в какой-нибудь конторе за вознаграждение, которое обычно бывает гораздо меньше, чем пособие по безработице в Англии.

Если бы жизнь распахнула перед ними свои двери, если бы им были обеспечены пища, здоровые жизненные условия, возможности для образования и роста, то многие из этих миллионов были бы видными учеными, педагогами, инженерами, промышленниками, писателями и художниками, помогающими строить новую Индию и новый мир!

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: