Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (16.1) в матрицу

(16.2)

Эта матрица состоит из т строк и п столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных X и матрицу свободных членов В:

(16.3)

X и В представляют собой векторы-столбцы, однако в целях единого подхода в рамках матричной алгебры удобнее трактовать их именно как матрицы, состоящие соответственно из п и т строк и одного столбца.

Тогда систему линейных уравнений (16.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен т х п а размер X — п х 1, значит, произведение этих матриц имеет смысл:

Произведение матриц АХ является, как и В, матрицей-столбцом размера m xl, состоящей из левых частей уравнений системы (16.1). Все уравнения этой системы вытекают из уравнения (16.4) в силу определения 2 равенства двух матриц.

Введем в рассмотрение еще одну матрицу; дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера т х (n + 1):

(16.5)

Матрица А_В называется расширенной матрицей системы. Эта матрица играет важную роль в вопросе о разрешимости системы уравнений.

Теорема 16.1 (теорема Кронекера-Капелли; критерий совместности системы). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: