Модуль 2. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий с развернутым ответом

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

_______________________________________________________________________

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

МАТЕМАТИКА

(профильный уровень)

Москва

Оглавление

Модуль 2. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий с развернутым ответом 21

Задание 13 (=15 в 2015) 21

Задание 14 (=16 в 2015) 30

Задание 15 (=17 в 2015) 44

Задание 16 (=18 в 2015) 53

Задание 17 (=19 в 2015) 65

Задание 18 (=20 в 2015) 77

Задание 19 (=21 в 2015) 91

Модуль 3. Решение типичных проблемных ситуаций оценивания. 103

Модуль 4. Тренинги. 110

Итоговый контроль. 237

Модуль 2. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий с развернутым ответом

Задание 13 (=15 в 2015)

Самые общие инструкции по оцениванию выполнения заданий с развёрнутым ответом содержатся в критериях оценивания.

Подчеркнём, что разделение задачи на пункты а) и б), введённое в 2012 г., служит, как показала практика использования, весьма надёжным ориентиром при пошаговой оценке выполнения задания 13. При этом часть критерия «ИЛИ….» была введена позже по результатам работы по проверке заданий и в соответствии с предложениями региональных экспертных комиссий.

Типичный пример использования этой части критерия можно описать так: задача в п. а) сведена к простейшим уравнениям, при их решении допущена неточность, но в б) проведен верный отбор по виду самих уравнений, а не по их, неточно найденным, решениям.

Обращаем внимание и на формулировку «…получены верные ответы…». Довольно редко, но встречаются случаи, когда в тексте решения получены верные ответы, но при их переписывании в финальную строчку «Ответы» допущены описки, пропуски и т.п. В таких случаях, формулировка «…получены верные ответы…» позволяет выставлять полный балл.

Подчеркнем, что одной из типовых ошибок экспертов при оценивании выполнения задания 13 является ограничение проверки до формального сличения ответа из работы с верным. В тексте работы вполне могут встречаться «двойные» ошибки или логические ошибки, или вообще может встретиться полная несуразица при вполне правильном итоговом ответе. Тут спешить не рекомендуется.

ВАРИАНТ 1

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

; .

Значит, или , откуда , , или , , или , откуда , , или , .

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .

Получим числа: ; ; .

Ответ: а) , ; , ; О: , ; , ; Ответ: б) ; ; .

ВАРИАНТ 2

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) , ; , ; Ответ: , ; , ; Ответ: б) ; ; .

Пример 1.

Комментарий.

Ответ верен. Ошибок в равенствах и переходах нет. 2 балла? Обратимся к критериям по поводу решения п. б). Обоснованно ли получен верный ответ? А нет в работе ни слов, ни рисунка про обоснования. Значит, 1 балл? Вот аргумент в сторону повышения оценки: «Ведь показано, как из основных значений получаются все верные. Это и есть обоснование». А вот и контраргумент: в а) в ответе период равен , а в б) почему-то .

Оценка: 1 балл

Пример 2.

Комментарий.

Арифметическая ошибка при подсчёте корня: он показан правильно, но написано вместо .

Оценка: 1 балл.

Пример 3.

Комментарий.

Вот тут, в отличие от Примера 1, имеется обоснование верного выбора в б). Правда, в а) есть очевидная описка: не извлечен квадратный корень из 4. Хорошо, что это не повлияло на верность ответа.

Оценка: 2 балла

Контрольные вопросы.

1) При решении п. а) были получены уравнения . Ответ приведен такой . В п. б) верный отбор был произведён по числовой окружности, на которой верно были выделены точки, соответствующие корням уравнений . Эксперт поставил 0 баллов. Обоснование: грубая ошибка при решении простейших тригонометрических уравнений. Согласны ли Вы с этой оценкой?

2) При решении п. а) написано … и далее без ошибок до полного ответа. Эксперт поставил 0 баллов. Обоснование: ответ полностью не совпал с верным. Согласны ли Вы с этой оценкой?

Задание 14 (=16 в 2015)

Самые общие инструкции по оцениванию выполнения заданий с развёрнутым ответом содержатся в критериях оценивания.

В этом задании разделение условия на пункты а) и б) было введено позже всех остальных, в 2014 г. Такое разделение, во-первых, как показала практика работы, делает более структурированной процедуру оценивания, а во-вторых, выделение в отдельный пункт а) доказательства, даёт правильный, по нашему мнению, акцент для преподавания геометрии в школе. Это разделение имеет и одну «негативную» тонкость. А именно, если п. а) не выполнен верно, в п. б) весь полный ход решения верен, но имеется (пусть и небольшая) арифметическая ошибка, приведшая к неверному ответу, то следует выставлять 0 баллов. Дело в том, что 1 балл невозможно поделить пополам и выставить 0,5 балла отдельно за п. б). При проверке этого задания эксперту следует отчетливо понимать, что возможны весьма различные формы записи верного ответа. В особенности, это касается величин углов (реже – длин, площадей и объёмов). Проверка (не)совпадения ответа из работы и ответа из материалов «Критерии оценивания…» есть прямая обязанность эксперта.

Как и в задании 15, обращаем внимание и на формулировку «…получены верные ответы…». Она позволяет выставлять полный балл в тех редких, но встречающихся случаях, когда верный ответ в работе получен, а при его выписывании в строку «Ответ» есть описки. Также, как и в задании 15, верно приведенный ответ в п.б) и правдоподобно выглядящие текст и рисунок в а) еще не есть основание для выставления 2 баллов. Доказательства, хотя и простые, но их следует проверять внимательно.

ВАРИАНТ 1

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды. б) Найдите угол между прямыми и .

Решение.

а) В треугольнике имеем:

,

поэтому треугольник прямоугольный с гипотенузой и прямым углом . Аналогично, из равенства

получаем, что . Так как прямая перпендикулярна прямым и , прямая перпендикулярна плоскости .

б) На прямой отметим такую точку , что — параллелограмм, тогда и . Найдём угол . По теореме Пифагора:

; и .

По теореме косинусов:

; ; .

Искомый угол равен . Ответ: б) .

ВАРИАНТ 2

16. В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми и .

Ответ: б).

Пример 1.

Комментарий.

Несмотря на верность ответа, ситуация пограничная. В п. а) начало наводит на подозрение о логической ошибке: доказательство начинается с «пусть В». К счастью, ниже «Равенство выполнятся, значит...» позволяет считать, что по существу доказательство идёт в верном порядке. Хотя, ещё чуть-чуть и следовало бы не засчитывать п.а)

Оценка: 2 балла

Пример 2.

Комментарий. В а) всё чисто, в б) – арифметическая ошибка. Оценка: 1 балл.

Пример 3.

Комментарий. П. б) решен на удивление неверно. В п. а) ситуация схожа с Примером 1. Но, в отличие от Примера 1, тут явно вместо проверяется и нет никаких шансов как-то по иному проинтерпретировать текст.

Оценка: 0 баллов

Задание 15 (=17 в 2015)

Самые общие инструкции по оцениванию выполнения заданий с развёрнутым ответом содержатся в критериях оценивания.

Задание этого типа (различного рода неравенства) является, пожалуй, наиболее простым с точки зрения выставления баллов за его выполнение. Дело в том, что это - «половина» от прежнего трехбалльного задания С3. После уменьшения числа неравенств с двух до одного, задача реально становится полуторабалльной. Но таких баллов нет, и она стала двубалльной, а при этом оценка в 1 балл стала весьма близкой к оценке 2 балла. Грубо, 1 балл здесь – это не «наполовину» решенная задача, а практически полностью решенная задача с проколами и неточностями на уровне 1-2 граничных точек из верного ответа.

Трактовка второй части критерия на 1 балл тут такая же, как и в задании 13(=15), см. контрольные вопросы к этому заданию. Сюда же попадают и те редкие случаи, когда ошибка допущена при переписывании условия в свой бланк, а далее приведено полное решение (формально, другой) задачи.

Обращаем внимание и на формулировку «…получен верный ответ…». Она позволяет выставлять полный балл в тех случаях, когда в тексте решения получены верные ответы, но в финальной строчке «Ответ» допущены описки, пропуски и т.п.

Как и выше, не следует ограничивать проверку до формального сличения ответа из работы с верным. Наконец, подчеркнем, что само отсутствие в решении слов ОДЗ (или чего-то аналогичного) не может служить основанием для снижения оценки. Снижать следует за неучёт ограничений вытекающих из условия задачи.

ВАРИАНТ 1

а

Решите неравенство .

Решение. Пусть , тогда неравенство примет вид:

; ,

откуда ; .

При получим: , откуда .

При получим: , откуда .

Решение исходного неравенства: ; .

Ответ: ; .

ВАРИАНТ 2

Решите неравенство .

Ответ:;.

Пример 1.

Комментарий. Замечаний, в целом, нет. Обращаем внимание, что ОДЗ в начале «не дорешена» до значений : это сделано перед самым ответом.

Оценка: 2 балла.

Пример 2.

Комментарий. Типичное применение второй части критерия на 1 балл.

Оценка: 1 балл.

Модуль 2. Задание 15 (=17). Пример 3.

Комментарий. «Почти» решенная задача, но в решающий момент не адекватное использование метода интервалов.

Оценка: 0 баллов

Задание 16 (=18 в 2015)

Самые общие инструкции по оцениванию выполнения заданий с развёрнутым ответом содержатся в критериях оценивания.

Разделение задачи на пункты а) и б), введённое в 2014 г., служит, как показала практика использования, весьма надёжным ориентиром при пошаговой оценке выполнения задания 16. При этом часть корректировка формулировок критерия «ИЛИ….» была сформирована в соответствии с предложениями региональных экспертных комиссий. Как и в задании 14, выделение в отдельный пункт а) доказательства, даёт правильный, по нашему мнению, акцент для преподавания геометрии в школе. Задание 16 –первое из трёхбалльных. Большее число баллов для эксперта есть «умножение печали», т.е. появление большего числа тонких мест. Например, способ доказательства а) в работе может кардинально отличаться от предложенного в нормативном документе «Критерии выполнения…». Эксперт самостоятельно должен принять решение об оценивании, основываясь именно на своём экспертном уровне. При оценивании подробности обоснований в решении п. б) также следует самостоятельно принять решение о достаточности этих обоснований. При этом недопустимо требовать от решения в работе выполнения того же уровня строгости, и, скажем, аккуратности в рисунках, что и учебнике. Вновь напомним: верный ответ в б) – не гарантия того, что он получен обоснованно.

ВАРИАНТ 1

Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке . а) Докажите, что прямые и параллельны.

б) Найдите площадь треугольника , если и .

Решение.

а) Точки и лежат
на окружностях с диаметрами и соответственно, поэтому

.

Прямые и перпендикулярны одной и той же прямой , следовательно, прямые и параллельны.

б) Пусть — центр окружности с диаметром . Тогда прямые и перпендикулярны. Учитывая, что прямые и перпендикулярны, получаем, что прямые и параллельны. Обозначим через . Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом 5, поэтому .

Опустим перпендикуляр из точки на прямую . Так как четырёхугольник — прямоугольник,

, .

По теореме Пифагора , откуда . Получаем, что .

Поскольку прямые и параллельны,

.

Значит, треугольники и равновелики. Следовательно,

.

Ответ: б) 30

.

ВАРИАНТ 2

То же, но и . Ответ: б) .

Пример 1.

Комментарий. Кристально ясная, и чаще всего встречавшаяся ситуация для ненулевых работ: а) верно, б) никак.

Оценка: 1 балл

Пример 2.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: