Операции над матрицами и векторами

В системе MatLab достаточно просто выполняются математические операции над матрицами и векторами. Рассмотрим сначала простые операции сложения и умножения матриц и векторов. Пусть даны два вектора

a = [1 2 3 4 5]; % вектор-строка
b = [1; 1; 1; 1; 1]; % вектор-столбец

тогда умножение этих двух векторов можно записать так

c = a*b; % c=1+2+3+4+5=16
d = b*a; % d – матрица 5х5 элементов

В соответствии с операциями над векторами, умножение вектор-строки на вектор-столбец дает число, а умножение вектор-столбца на вектор-строку дает двумерную матрицу, что и является результатом вычислений в приведенном примере, т.е.

Сложение и вычитание двух векторов записывается так

a1 = [1 2 3 4 5];
a2 = [5 4 3 2 1];
c = a1+a2; % c = [1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1];
с = a2-a1; % c = [5-1, 4-2, 3-3, 2-4, 1-5];

Следует обратить внимание, что операции сложения и вычитания можно выполнять между двумя векторами-столбцами или двумя векторами-строками. Иначе MatLab выдаст сообщение об ошибке, т.к. разнотипные векторы складывать нельзя. Так обстоит дело со всеми недопустимыми арифметическими операциями: в случае невозможности их вычисления система MatLab сообщит об ошибке и выполнение программы будет завершено на соответствующей строке.

Аналогичным образом выполняются операции умножения и сложения между матрицами:

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
B = ones(3);
C = A+B; % сложение двух матриц одинакового размера
D = A+5; % сложение матрицы и числа
E = A*B; % умножение матрицы А на В
F = B*A; % умножение матрицы В на А
G = 5*A; % умножение матрицы на число

Операции вычисления обратной матрицы, а также транспонирования матриц и векторов, записываются следующим образом:

a = [1 1 1]; % вектор-строка
b = a’; % вектор-столбец, образованный
% транспонированием вектора-строки а.
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3 элемента
B = a*A; % B = [12 15 18] – вектор-строка
C = A*b; % C = [6; 15; 24] – вектор-столбец
D = a*A*a’; % D = 45 – число, сумма эл-ов матрицы А
E = A’; % E – транспонированная матрица А
F = inv(A); % F – обратная матрица А
G = A^-1; % G – обратная матрица А

Из приведенного примера видно, что операция транспонирования матриц и векторов обозначается символом ‘ (апостроф), который ставится после имени вектора или матрицы. Вычисление обратной матрицы можно делать путем вызова функции inv() или возводя матрицу в степень -1. Результат в обоих случаях будет одинаковым, а два способа вычисления сделано для удобства использования при реализации различных алгоритмов.

Если в процессе вычислений требуется поэлементно умножить, разделить или возвести в степень элементы вектора или матрицы, то для этого используются операторы:

.* - поэлементное умножение;
./ и.\ - поэлементные деления;
.^ - поэлементное возведение в степень.

Рассмотрим работу данных операторов на следующем примере.

a = [1 2 3]; % вектор-строка
b = [3 2 1]; % вектор-строка
c = a.*b; % c = [3 4 3]
A = ones(3); % матрица 3х3, состоящая из единиц
B = [1 2 3;4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3
C = A.*B; % матрица 3х3, состоящая из
D = A./B; % матрица 3х3, состоящая из
E = A.\B; % матрица 3х3, состоящая из
F = A.^2; % возведение элементов матрицы А в квадрат

В заключении данного параграфа рассмотрим несколько функций полезных при работе с векторами и матрицами.

Для поиска максимального значения элемента вектора используется стандартная функция max(), которая возвращает найденное максимальное значение элемента и его позицию (индекс):

a = [1 6 3 4];
[v, i] = max(a); % v = 6, i = 2;

или

v = max(a); % v = 6;

Приведенный пример показывает два разных способа вызова функции max(). В первом случае определяется и максимальное значение элемента и его индекс в векторе, а во втором – только максимальное значение элемента.

В случае с матрицами, данная функция определяет максимальные значения, стоящие в столбцах, как показано ниже в примере:

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
[V, I] = max(A); % V=[6 7 8], I = [2 2 3]
V = max(A); % V=[6 7 8]

Полный синтаксис функции max() можно узнать, набрав в командном окне MatLab команду

help <название функции>

Аналогичным образом работает функция min(), которая определяет минимальное значение элемента вектора или матрицы и его индекс.

Другой полезной функцией работы с матрицами и векторами является функция sum(), которая вычисляет сумму значений элементов вектора или столбцов матрицы:

a = [3 5 4 2 1];
s = sum(a); % s = 3+5+4+2+1=15
A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
S1 = sum(A); % S1=[13 11 15]
S2 = sum(sum(A)); % S2=39

При вычислении суммы S2 сначала вычисляется сумма значений элементов матрицы А по столбцам, а затем, по строкам. В результате, переменная S2 содержит сумму значений всех элементов матрицы А.

Для сортировки значений элементов вектора или матрицы по возрастанию или убыванию используется функция sort() следующим образом:

a = [3 5 4 2 1];

b1 = sort(a); % b1=[1 2 3 4 5]
b2 = sort(a, ‘descend’); % b2=[5 4 3 2 1]
b3 = sort(a, ‘ascend’); % b3=[1 2 3 4 5]

для матриц

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
B1 = sort(A); % B1=[3 1 2
% 4 3 5
% 6 7 8]
B2 = sort(A, ‘descend’); % B2=[6 7 8
% 4 3 5
% 3 1 2]

Во многих практических задачах часто требуется найти определенный элемент в векторе или матрице. Это можно выполнить с помощью стандартной функции find(), которая в качестве аргумента принимает условие, в соответствии с которым и находятся требуемые элементы, например:

a = [3 5 4 2 1];
b1 = find(a == 2); % b1 = 4 – индекс элемента 2
b2 = find(a ~= 2); % b2 = [1 2 3 5] – индексы без 2
b3 = find(a > 3); % b3 = [2 3]

В приведенном примере символ ‘= =’ означает проверку на равенство, а символ ‘~=’ выполняет проверку на неравенство значений элементов вектора а. Более подробно об этих операторах будет описано в разделе условные операторы.

Еще одной полезной функцией работы с векторами и матрицами является функция mean() для вычисления среднего арифметического значения, которая работает следующим образом:

a = [3 5 4 2 1];
m = mean(a); % m = 3
A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
M1 = mean(A); % M1 = [4.333 3.667 5.000]
M2 = mean(mean(A)); % M2 = 4.333

Структуры в MatLab

При разработке программ важным является выбор эффективного способа представления данных. Во многих случаях недостаточно объявить простую переменную или массив, а нужна более гибкая форма представления данных. Таким элементом может быть структура, которая позволяет включать в себя разные типы данных и даже другие структуры. Структуры задаются следующим образом:

S = struct('field1',VALUES1,'field2',VALUES2,...);

где field1 – название первого поля структуры; VALUES1 – переменная первого поля структуры, и т.д.

Приведем пример, в котором использование структуры позволяет эффективно представить данные. Таким примером будет инвентарный перечень книг, в котором для каждой книги необходимо указывать ее наименование, автора и год издания. Причем количество книг может быть разным, но будем полгать, что не более 100. Для хранения информации об одной книге будем использовать структуру, которая задается в MatLab с помощью ключевого слова struct следующим образом:

S = struct('title','','author','','year',0);

В итоге задается структура с тремя полями: title, author и year. Каждое поле имеет свой тип данных и значение.

Для того, чтобы записать в эту структуру конкретные значения используется оператор ‘.’ (точка) для доступа к тому или иному полю структуры:

S.title = 'Евгений Онегин';
S.author = 'Пушкин';
S.year = 2000;

и таким образом, переменная S хранит информацию о выбранной книге.

Однако по условиям задачи необходимо осуществлять запись не по одной, а по 100 книгам. В этом случае целесообразно использовать вектор структур lib, который можно задать следующим образом:

lib(100,1) = struct('title','','author','','year',0);

и записывать информацию о книгах так:

lib(1).title = 'Евгений Онегин';
lib(1).author = 'Пушкин';
lib(1).year = 2000;

Данный пример показывает удобство хранения информации по книгам. Графически массив структур можно представить в виде таблицы, в которой роль столбцов играют поля, а роль строк элементы массива структур (рис. 1.1).

При работе со структурами полезными являются следующие функции:

isstruct(S) – возвращает истину, если аргумент структура
isfield(S, 'name') – возвращает истину, если имеется такое поле
fieldnames(S) – возвращает массив строк с именами всех полей

которые позволяют программно определить всю необходимую информацию о той или иной структуре и корректно выполнять обработку ее полей.

	название	автор	год издания
lib[1]	lib[1].title	lib[1].author	lib[1].year
lib[2]	lib[2].title	lib[2].author	lib[2].year
lib[3]	lib[3].title	lib[3].author	lib[3].year
lib[100]	lib[100].title	lib[100].author	lib[100].year

Рис. 1.1. Графическое представление массива структур хранения информации по 100 книгам

Ячейки в MatLab

Ячейки также как и структуры могут содержать разные типы данных, объединенные одной переменной, но в отличии от вектора структур, вектор ячеек может менять тип данных в каждом элементе. Таким образом, вектор ячеек является универсальным контейнером – его элементы могут содержать любые типы и структуры данных, с которыми работает MatLab – векторы чисел любой размерности, строки, векторы структур и другие (вложенные) векторы ячеек.

Методы создания вектора ячеек похожи на методы создания вектора структур. Как и в случае структур, векторы ячеек могут быть созданы либо путём последовательного присваивания значений отдельным элементам массива, либо созданы целиком при помощи специальной функции cell(). Однако в любом случае важно различать ячейку (элемент вектора ячеек) и её содержимое. Ячейка – это содержимое плюс некоторая оболочка (служебная структура данных) вокруг этого содержимого, позволяющая хранить в ячейке произвольные типы данных любого размера.

Приведем пример создания вектора ячеек хранения разных типов данных.

book = struct('title','Онегин','author','Пушкин','year',2000);
MyCell(1)={book};
MyCell(2)={'Пушкин'};
MyCell(3)={2000};

Здесь задан вектор ячеек MyCell с тремя элементами. Первый элемент соответствует структуре, второй – строке, а третий – числу. В этом и заключается особенность организации данных с помощью ячеек: у каждого элемента свой тип данных.

Для обращения к содержимому той или иной ячейки используются фигурные скобки, внутри которых ставится индекс элемента с которым предполагается работа:

MyCell{1}

выведет на экран

title: 'Евгений Онегин'
author: 'Пушкин'
year: 2000

Если же используются круглые скобки, то будет возвращена структура данных вместо отдельных значений, например

MyCell(1)

выведет

[1x1 struct]

Для того чтобы задать вектор или матрицу ячеек с пустыми (неопределенными) значениями, используется функция cell() как показано ниже.

MyCellArray = cell(2, 2);

задается матрица размером 2х2. Данную инициализацию целесообразно выполнять когда нужно определить большой вектор или матрицу ячеек и в цикле задавать их значения. В этом случае MatLab сразу создает массивы нужных размеров, в результате чего повышается скорость выполнения программ.

В заключении рассмотрим возможность программирования функции с произвольным числом аргументов благодаря использованию ячеек. Для этого в качестве аргумента функции указывается ключевое слово varargin, которое интерпретируется внутри функции как вектор ячеек с переданными аргументами:

function len = SumSquare(varargin)
n= length(varargin);
len = 0;
for k = 1: n
len = len + varargin{ k }(1)^2 +varargin{ k }(2)^2;
end

Данная функция вычисляет сумму квадратов чисел, которые передаются ей следующим образом:

SumSquare([ 1 2], [3 4]) % ответ 30
SumSquare([ 1 2], [3 4], [ 5 6]) % ответ 91

Таким образом, благодаря использованию ячеек функции SumSquare() можно передавать произвольное число двумерных векторов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: