ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ

ЛЕКЦИЯ 11

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Действительный числовой ряд называют знакопеременным, если он содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных элементов. Как всякий числовой ряд, знакопеременный ряд может сходиться или расходиться, что зависит от поведения его частичных сумм.

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) его элементов . В этом случае говорят, что ряд абсолютно сходится. Ряд, составленный из абсолютных величин его элементов, будем кратко называть рядом модулей.

Знакопеременный ряд называют условно сходящимся, если он сходится, а ряд модулей расходится. В данном случае говорят, что ряд условно сходится.

Так, например, знакопеременный ряд при любом значении , большем единицы является абсолютно сходящимся, потому чтопри этих значениях параметра ряд модулей является эталонным сходящимся рядом Дирихле.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

1. Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он сходится.

2. При произвольной перестановке элементов абсолютно сходящегося знакопеременного ряда сумма ряда не меняется.

3. Путем перестановки элементов условно сходящегося знакопеременного ряда можно получить ряд, сумма которого будет равна любому наперед заданному числу (теорема Римана).

4. При сложении, вычитании, умножении и делении абсолютно сходящихся рядов получают абсолютно сходящиеся ряды, суммы которых равны сумме, разности, произведению и частному исходных рядов. При делении сумма ряда-делителя должна быть отлична от нуля.

Как видно из формулировок, свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются. Свойства абсолютно сходяшихся рядов сходны со свойствами сумм, составленных из конечного числа слагаемых, например, при перемене мест слагаемых − элементов ряда сумма не меняется. В условно сходящихся рядах при перестановке элементов ряда сумма меняется (см. свойство 3).

Предельные признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов

Для знакопеременных рядов ряды, составленные из абсолютных величин элементов рядов, являются рядами с неотрицательными элементами. Согласно свойству 1 из сходимости ряда модулей следует сходимость самого ряда. Из множества признаков, применяемых при исследовании знакоположительных рядов, выделим два признака – предельные признаки Даламбера и Коши, которые при выполнении определенных условий позволяют установить либо расходимость знакопеременного ряда, либо его абсолютную сходимость.

Теорема 1. (предельный признак Даламбера для знакопеременного ряда). Пусть задан знакопеременный ряд . Если существует предел то при ря д абсолютно сходится, а при расходится.

Теорема 2. (предельный признак Коши для знакопеременного ряда). Пусть задан знакопеременный ряд . Если существует предел то при ряд абсолютно сходится, а при расходится.

З а м е ч а н и е. При и в случае отсутствия предела предельные признаки Даламбера и Коши не позволяют охарактеризовать поведение ряда. По аналогии со знакоположительными рядами следует проверить выполнение необходимого признака сходимости. Если этот признак не выполнен, то знакопеременный ряд расходится. Если выполнен, то следует применить к ряду где , один из признаков сравнения знакоположительных рядов или интегральный признак Коши. Если ряд модулей окажется сходящимся, то согласно свойству 1 и знакопеременный будет сходящимся. Если исследование ряда модулей не удается завершить, то следует прибегнуть к помощи других признаков [ ].

Если установлено, что ряд модулей расходится, то нужно исследовать сам исходный знакопеременный ряд. Для знакочередующегося ряда надлежит проверить выполнение условий признака Лейбница. Если знакопеременный ряд не является знакочередующимся, то нужно использовать другие признаки [ ].

Полная процедура исследования приведена в схеме исследования знакопеременных рядов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: