Теорема Абеля. Теорема об интервале сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда по коэффициентам ряда

ЛЕКЦИЯ 12

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Ранее рассматривались ряды, элементами которых были числа. Рассмотрим теперь ряды, элементами которых являются функции, т.е. ряды вида где − функции, имеющие общую область определения Такие ряды называют функциональными, функции называют элементами ряда, а − общим элементом ряда. Например, где .

Ясно, что при подстановке в функциональный ряд конкретного значения получается числовой ряд Если этот ряд сходится, то точку называют точкой сходимости для ряда . Все точки сходимости образуют область сходимости функционального ряда. Говорят, что ряд абсолютно сходится на , если сходится ряд , . Для функциональных рядов важную роль играет понятие равномерной сходимости на . Говорят, что ряд равномерно сходится на , если для любого и любого натурального существует номер такой, что при всех неравенство выполнено при всех .

Пусть ряд , где непрерывные функции на , равномерно сходится на и имеет место равенство , . Тогда − непрерывная функция и этот ряд можно поэлементно интегрировать на , т.е. справедливо равенство: , и в частности где .

Важным частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды, т.е. ряды вида , где − числовые коэффициенты, − фиксированное значение переменной . Например, . Здесь , . Если , то получаем ряд вида . С другой стороны ряд заменой можно свести к ряду . Поэтому результаты, полученные для ряда справедливы для ряда и наоборот.

Теорема Абеля. Теорема об интервале сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда по коэффициентам ряда

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема 1. (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится при значении , то он абсолютно сходится при всех значениях таких, что . Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех значениях таких, что .

Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема об интервале сходимости степенного ряда.

Теорема 2. Для ряда существует такое число , что при ряд абсолютно сходится, а при – расходится.

Число получило название радиуса сходимости, а интервал – интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала, т.е. при и ряд может как сходиться, так и расходиться. Если , то ряд сходится в одной точке: . Если , то ряд сходится для , т.е. на всей числовой прямой.

Для ряда аналогичные результаты имеют вид: существует такое число , что при ряд абсолютно сходится, а при − расходится. В точках и ряд может как сходиться, так и расходиться. Если , то ряд сходится в одной точке: . Если , то ряд сходится на всей числовой прямой.

Из сказанного ясно, что важно научиться находить радиус сходимости . Если ряд имеет вид или (т.е. содержит все степени переменной), то можно воспользоваться формулой

или формулой

В противном случае для отыскания применяют признак Даламбера или Коши непосредственно к рядам или .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: