Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:

Геометрический смысл смешанного произведения

12345Следующая ⇒



Условие коллинеарности векторов

Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b

 

Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Геометрический смысл смешанного произведения.

13) Модуль смешанного произведения трех векторов a, bи с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

Vпарал = a · [b × c]

Геометрический смысл смешанного произведения.

Объем пирамиды образованной тремя векторами a, bи с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:

Vпир =   |a · [b × c]|
 

Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.

a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)

a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.

 

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , ,

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов , и :

 

Условие компланарности трех векторов:

Определение- Три вектора, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

 

 

 

Задание. Найти координаты вектора , если Решение. Длина (модуль) вектора Теоретический материал по теме - длина вектора. Пример Задание. Найти длину вектора Решение. Используя формулу, получаем: Пример Задание. Найти длину вектора Решение. Используя формулу, получаем: Угол между векторами Теоретический материал по теме - угол между векторами. Пример Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами и . Решение. Косинус искомого угла: Пример Задание. Найти угол между векторами и Решение. Косинус искомого угла Пример Задание. Найти угол между векторами и Решение. Косинус искомого угла: Разложение вектора по ортам координатных осей Теоретический материал по теме - разложение вектора по ортам. Пример Задание. Зная разложения вектора по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве. Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что Пример Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат. Решение. Координаты вектора - это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение: Скалярное произведение векторов Теоретический материал по теме - скалярное произведение векторов. Пример Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°. Решение. Так как из условия , , а , то Пример Задание. Найти скалярное произведение векторов и Решение. Скалярное произведение Векторное произведение векторов Теоретический материал по теме - векторное произведение векторов. Пример Задание. Найти векторное произведение векторов и Решение. Составляем определитель и вычисляем его:     14)Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1,..., an, необходимо найти коэффициенты x1,..., xn, при которых линейная комбинация векторов a1,..., an равна вектору b: x1a1 +... + xnan = b, при этом коэффициенты x1,..., xn, называются координатами вектора b в базисе a1,..., an. Док-во-любой вектор в пространстве может быть единственным образом разложен по базису е1, е2, е3, т. е. вектор а=х1е1+х2е2+х3е3. вектор а представляет собой линейную комбинацию векторов е1, е2, е3  
отрезок- это часть прямой линии, ограниченная двумя точками - началом и концом.Длина отрезка это расстояние от одной точки до другой. разделить отрезок в заданном отношении, необходимо в этом отношении разделить его проекции. На рисунке отрезок MN поделен точкой К в отношении MK:KN=1:4   16)Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида Ax+By+Cz+D=0 где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю. Способы задания плоскости: Через точку и вектор нормали - Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, Z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид: A(X – X0) + B(Y – Y0) + C(Z – Z0) = 0. Через 3 точки- Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, Z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид: A(X – X0) + B(Y – Y0) + C(Z – Z0) = 0. Нормальное уравнение плоскости- Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей. Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l1 и l2, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей. Формула для вычисления угла между плоскостями Если заданы уравнения плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
√A12 + B12 + C12√A22 + B22 + C22
   

Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(Mx, My, Mz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:

 

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|
√A2 + B2 + C2

 

17) Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt.

Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n 1(5,1,1) и n 2(2,3,-2). Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

2. 18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

(2u+v)1 + (-u + v)0 + (5u + 2v)1 -3u + v =0, или v = - u.

Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Т.к. u0 (иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

(2u+ v)1 + (v - u)(-2) + (5u +2v)3 = 0, или v = - 19/5u.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.

* Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

12345Следующая ⇒




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
vikidalka.ru - 2015-2025 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных