Следствия из второго замечательного предела

1°

2°

3°

4°

5°

6°

35 Доказательство

36 При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями. Основные виды неопределенности:Ноль на ноль :бесконечность на бесконечность, ноль умножить на бесконечность, бесконечность минус бесконечность, единица в степени бесконечность, ноль в степени ноль, бесконечность в степени ноль.

37 Функция называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна в каждой его точке (в точке а непрерывна справа, в точке b – непрерывна слева). Основные теоремы о непрерывных функциях Функция, непрерывная на отрезке [ a, b ], достигает на нём своего наименьшего значения m и наибольшего значения M, то есть существуют такие точки x 1 и x 2этого отрезка, что f (x 1) = m, f (x 2) = M. Если функция у = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на его концах принимает неравные значения f (а) = А, f (b) = В, А ¹ В, то каково бы ни было число С, заключённое между А и В, найдётся точка с Î [ a, b ] такая, что f (с) = С. Геометрический смысл теоремы иллюстрируется на рис.3. Всякая прямая у = С, где A < C < B (или A > C > B), пересекает график функции у = f (x). Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.   Пример непрерывной функции: y   f(x0)+e f(x0) f(x0)-e   0 x0-D x0 x0+D x     Пример разрывной функции:   y   f(x0)+e f(x0) f(x0)-e x0 x   Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию верно неравенство .   38 Определение непрерывности функции в билете 37. Теорема Больцмана- Коши- Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=В,то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В. Следствие из Теоремы Больцана- Коши. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения. Тогда существует такая точка с принадлежащая [а, b] в которой f (c)=0. Теорема Вейерштрасса - Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Следствие из Теоремы Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. 39 Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно: Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно: существует конечный предел функции в точке ; это предел равен значению функции в точке , т.е. Называется точкой разрыва функции. Точка разрыва первого рода. Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода. Точка разрыва второго рода. Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода. 40 Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю Физический смысл производной x`(t) от непрерывной функции x(t) в точке t0 – есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента Δt стремится к нулю.нахождение производной называется дифференцированием. Геометрический смысл производной- производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в выбранной точке. Физический смысл производной- если данную функцию считать зависимостью пути от времени, то её производная в какой-либо точке- это мгновенная скорость в данной точке (т. е. в данный момент времени, поскольку в данном случае точка-это момент времени. Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом: Геометрический смысл- Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента . Физический смысл- Дифференциал функции по пути равен расстоянию, которое прошла бы мат. точка за бесконечно малый промежуток времени dx, как если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости в момент времени Х0 Функция называется дифференцируемой на интервале- если она дифференцируемая в каждой точке этого интервала. Если функция дифференцируема в точке X, то она и непрерывна в этой точке. Обратное не гарантировано.

41

42 Доказательство проведем для производной суммы

43 производная сложной функции: f(g(x))' = f'(g(x))·g'(x) Производная сложной функции

44)

Производная функции, заданной параметрически.

Пусть

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

т.к. Ф(х) – обратная функция, то

Окончательно получаем:

Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

Дифференцирование неявных функций

Пусть уравнение определяет как неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ;

б) из полученного уравнения выразим .

Пример: .

45 Теорема Ролля- Если вещественная функция, непрерывная на отрезке [a,b] и дифференцируемая на интервале (a.b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. Доказательство - Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала. Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

46 равило Лопиталя). Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям: 1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ; 2) и в этой окрестности; 3) ; 4) существует конечный или бесконечный. Тогда существует и , причем адание. Найти Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя. Ответ.

47

48

49

50 адание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции Решение. Найдем вторую производную заданной функции: Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение : Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки: Так как на промежутке вторая производная , то на этом промежутке функция выпукла; в силу того, что на промежутке вторая производная - функция вогнута. Так как при переходе через точку вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции. Ответ. Точка - точка перегиба графика функции. На промежутке функция выпукла, на промежутке функция вогнута. 51

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: