СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ПОЛЯ И ПОТЕНЦИАЛОМ

Одно и тоже электрическое поле можно охарактеризовать напряженностью и потенциалом. Естественно между этими характеристиками должна существовать связь, и ее легко установить. Как мы знаем, по определению ~ , а , и между ними существует связь:

(12.21)

Разделив (12.21) на величину пробного заряда получим соотношение, связывающее напряженность поля в данной точке пространства и потенциал этой точки:

. (12.22)

Напомним, что в соответствии с определением градиента

. (12.23)

В соответствии с соотношением(12.23) если в пространстве некоторой осью задано направление, то проекция на это направление может быть найдена по формуле:

(12.24)

Часто бывает необходимо решить обратную задачу: по известному распределению в пространстве найти разность потенциалов между двумя точками. В этом случае можно рассуждать так. Работа поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 определяется соотношением:

(12.25)

С другой стороны эту же работу можно найти по формуле

(12.26)

А значит:

(12.27)

При рассмотрении электростатических задач часто используют понятие эквипотенциальной поверхности. Как следует из названия, такой поверхностью называют поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Важным свойством эквипотенциальной поверхности является то, что в каждой точке она перпендикулярна силовым линиям поля (линиям вектора ). Действительно, если бы это было не так (т.е. если бы в данной точке эквипотенциальной поверхности вектор напряженности не был бы ей перпендикулярен и имел бы ненулевую тангенциальную составляющую вдоль некоторого направления), то при перемещении на dl вдоль этого направления потенциал должен был бы получать ненулевое приращение . Это следует из соотношения (12.24) . Но тогда поверхность вдоль этого направления не должна быть эквипотенциальной! Поскольку по условию при перемещении по эквипотенциальной поверхности на dl изменение потенциала , тангенциальная составляющая , и вектор перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.