ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Ф.Н.П.ЛЕКЦИЯ 3
Рассмотрим функцию определенную и дифференцируемую в окрестности точки Тогда в этой окрестности существуют частные производные и являющиеся функциями двух переменных и Частной производной второго порядка функции в точке называют частную производную по от частной производной , вычисленную в точке : Частной производной второго порядка называют частную производную по от частной производной в точке : Аналогично вводят понятия частных производных и Используют и сокращенную форму записи производных: Частные производные 2-го порядка (если они существуют) являются функциями двух переменных которые в свою очередь можно дифференцировать как по так и по Получаем «дерево» частных производных высших порядков:
Частные производные, полученные дифференцированием функции по наборам разных переменных, называют смешанными. Теорема 1. (о смешанных производных). Если функция имеет в некоторой окрестности точки смешанные производные и непрерывные в точке то Из теоремы 1 следует независимость смешанных производных от порядка дифференцирования. Это теорема обобщается на функции произвольного числа переменных и смеша Для иллюстрации этой теоремы рассмотрим пример. Пример 1. Найти частные производные 3-го порядка и функции □ Используя «дерево» частных производных, получаем:
Заметим, что функции − непрерывные. Поэтому ■
Пусть функция определена и имеет частные производные до -го порядка включительно в окрестности точки причем в точке все частные производные непрерывны. В этом случае первый дифференциал определен и вычисляется по правилу «цепочки»: Введем оператор дифференцирования Тогда последнюю формулу можно переписать в виде: Дифференциал является функцией четырех переменных: Дифференциалом 2-го порядка функции называется дифференциал дифференциала первого порядка: Дифференциал 3-го порядка – это дифференциал дифференциала 2-го порядка: Продолжая рассуждения, введем дифференциал -го порядка как дифференциал дифференциала -го порядка: Если – независимые переменные, то в точке Если частные производные непрерывны в точке , то и формула для вычисления второго дифференциала принимает вид: (1) С помощью оператора дифференцирования формулу (1) можно переписать в виде: . Аналогично для функций, имеющих непрерывные частные производные -го порядка включительно, имеем: , Формула вычисления дифференциала произвольного порядка обобщается на функцию имеющую непрерывные частные производные до -го порядка включительно: Пример 2. Найти второй дифференциал функции □ Функция и все ее частные производные являются непрерывными функциями. Вычисляем все частные производные до 2-го порядка включительно:
Найденные производные подставляем в формулу (1): ■
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|