Производная и дифференциал вектор-функции

Лекция № 2 от 19.02.2014.

Определение: Вектор-функция называется непрерывной в точке t ₀, если при t→ t ₀ имеем → или = .

Теорема. Пусть , непрерывные вектор-функции и λ (t) – непрерывная скалярная функция в точке t ₀, тогда непрерывными в точке t ₀ будут функции: ± , λ (t)· , · , × .

Доказательство. Самостоятельно.

Теорема. Пусть вектор-функция =(х (t); у (t); z (t)) при t→ t ₀ имеет предел = (а ₁; а ₂; а ₃), тогда х (t) = а ₁, у (t) = а ₂, z (t) = а ₃.

Доказательство: Основная идея доказательство заключается в том, что для

того, чтобы < ε, достаточно,

чтобы , , . (Самостоятельно)

Определение: Вектор-функция называется непрерывной на интервале

(а, b), если она непрерывна в каждой точке отрезка.

Производная и дифференциал вектор-функции

Пусть дана непрерывная вектор-функция =(х (t); у (t); z (t)) или = х (t)· + у (t)· + z (t)· .

Обозначим приращение аргумента Δ t = t – t ₀, тогда можно рассматривать приращение вектор-функции Δ = - .

Определение: Производной вектор-функции в точке t ₀ называется вектор

= = .

Замечание: Для удобства, в дальнейшем будем записывать =

(вектор можно делить на число).

Рисунок

Определение: Если для вектор-функции в точке t ₀ существует производная, то она называется дифференцируемой.

Пусть вектор-функция имеет производную в точке t ₀ - .

Рассмотрим вектор .

Величину будем называть главной линейной частью приращения вектор-функции (по аналогии со скалярными функциями).

Величина - бесконечно-малая более высокого порядка, чем Δ t.

Т.о. = + =( )∙ +

= , = d t = dt ∙ , или

По аналогии с дифференциалом скалярной функции:

= ∙ d t и = .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: