Геометрический смысл производной и дифференциала вектор-функции
Пусть на (a; b) дана вектор-функция . Рассмотрим t 1 и t 2 (a, b)
М1=(х 1(t); y 1(t); z 1(t)) ; М2=(х 2(t); y 2(t); z 2(t)) .
Δ t = t 2 – t 1, Δ = - = - вектор секущей.
Следовательно ║ Δ 
Если t 2 → t 1, то точка М2 по кривой приближается к М1, а значит → ō. Так как существует производная отличная от ō, то секущая (М1М2) стремится к своему предельному положению – касательной.
Направляющий вектор касательной = ║ = 
РИСУНОК
Т.о. вектор параллелен к касательной в точке М1 - в этом заключается геометрический смысл вектора производной и вектора дифференциала.
Тем не менее, │ │- не имеет геометрического смысла, т.к. параметризация кривой произвольна. Введя новую параметризацию t = t (τ), получим - появился скалярный множитель, но кривая осталась прежней. Т.е. направление вектора осталось, а длина изменилась!
Обозначение: Единичный направляющий вектор касательной будем обозначать 
Если производная существует в каждой точке, то она сама является функцией, а значит можно взять производную от производной. Т.о. получится вторая производная = и т.д.
Определение: п производной вектор-функции называется производная от п -1 производной. = 
Замечание: Для производной вектор-функции справедливы основные теоремы о производных скалярных функций.
Теорема: Пусть для вектор-функций , и скалярной функции λ (t) существуют производные, а постоянный вектор, тогда






Доказательство: Рассмотрим только одно свойство
=
= =
= =
= + =
= + == + 
Аналогично доказываются остальные свойства.
Теорема: Если вектор-функция имеет постоянную длину, тогда её производная перпендикулярна самой вектор-функции.
Доказательство: Пусть = с, тогда · = = с 2.

=0 =0 .
Замечание: Это важное свойство вектор-функций мы неоднократно будем применять в дальнейшем.
Задача. Докажите, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, восстановленному в точку касания.
Решение. Уравнение окружности х 2+ у 2= а 2 или х=а ·соs t · · у=а ·sin t,
Или , причем = а, тогда по предыдущей теореме, производная вектор-функции (вектор касательной) перпендикулярна самой вектор-функции (радиусу окружности).
Теорема: Для того, чтобы вектор-функция =(х (t); у (t); z (t)) имела производную необходимо и достаточно, чтобы координатные функции имели производные.
Тогда =(х´ (t); у´ (t); z´ (t)), =(х″ (t); у″ (t); z″ (t)) и т.д.
Доказательство: 1. Пусть = х (t)· + у (t)· + z (t)· - имеет производную,
т.е. = а 1· + а 2· + а 3· .
Координатные функции можно найти следующим образом:
х (t) = · , у (t) = · , z (t)= · ,
а 1 = · , а 2 = · , а 3= · ,
Найдем производные координатных функций:
х´ (t)= у´ (t)= 
z´ (t)= =(х´ (t); у´ (t); z´ (t)).
2. Пусть х (t), у (t), z (t) - дифференцируемы.
Тогда = = + + =
= х´ (t)· + у´ (t)· + z´ (t)· = (х´ (t); у´ (t); z´ (t)).
Для того, что бы вектор-функция была k - раз дифференцируема, необходимо и достаточно, что бы координатные функции х (t), у (t), z (t) были дифференцируемы k – раз. В этом случае вектор-функция называется регулярной класса k, т.е. .
Задача. Найдите и для 
Решение. х (t) = а ·соs t, у (t) = а ·sin t, z (t) = b·t
х ′(t) = - а ·sin t, у ′(t) = а ·соs t, z ′(t) = b, тогда 
х ″(t) = - а ·соs t, у ″(t) = - а ·sin t, z ″ (t) = 0 
Замечание: Если не оговорено особо, то будем считать, что вектор-функция дифференцируема достаточное число раз (т.е. ).
Для k - раз дифференцируемой вектор-функции справедливо разложение в ряд Тейлора в окрестности точки t 0:
= + + + +…+ ...
Или = + + + +…+ +…
Определение: Если в окрестности точки t 0 вектор-функцию можно разложить в ряд Тейлора, то она называется аналитической.
В каком случае вектор-функция будет задавать элементарную кривую?
Теорема: Пусть х (t), y (t), z (t) дифференцируемые функции, причем
t (a, b) х ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ≠ 0, тогда векторная функция одного скалярного аргумента = (х (t); y (t); z (t)) задает некоторую элементарную кривую.
Замечание: Эту теорему можно сформулировать следующим образом: вектор-функция задает элементарную кривую в окрестности точки t 0, если ≠ ō.
Замечание: Некоторые кривые при подходящем выборе осей координат допускают параметризацию вида или . Это бывает удобнее.
Теорема. Пусть окрестности некоторой точки t 0 регулярная кривая задана уравнениями и х ′(t 0) ≠ 0, тогда в достаточно малой окрестности точки t 0, кривая может быть задана уравнениями у= φ (х) z=ψ (х).
(без доказательства).
Теорема. Пусть F (х,у,z)=0 и Φ (х,у,z)=0 - регулярные функции от трех переменных (поверхности в E 3) и для некоторой точки М(х 0 ; у 0 ; z0 ) F (х 0, у 0,z0)=0 и Φ (х 0, у 0,z0)=0 (т.е. точка принадлежит поверхностям). Тогда для того чтобы в окрестности этой точки эти уравнения задавали элементарную кривую необходимо и достаточно, чтобы
= 2.
(без доказательства).
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|