Геометрический смысл производной и дифференциала вектор-функции

Пусть на (a; b) дана вектор-функция . Рассмотрим t ₁ и t ₂ (a, b)

М₁=(х ₁(t); y ₁(t); z ₁(t)) ; М₂=(х ₂(t); y ₂(t); z ₂(t)) .

Δ t = t ₂ – t ₁, Δ = - = - вектор секущей.

Следовательно ║ Δ

Если t ₂ → t ₁, то точка М₂ по кривой приближается к М₁, а значит → ō. Так как существует производная отличная от ō, то секущая (М₁М₂) стремится к своему предельному положению – касательной.

Направляющий вектор касательной = ║ =

РИСУНОК

Т.о. вектор параллелен к касательной в точке М₁ - в этом заключается геометрический смысл вектора производной и вектора дифференциала.

Тем не менее, │ │- не имеет геометрического смысла, т.к. параметризация кривой произвольна. Введя новую параметризацию t = t (τ), получим - появился скалярный множитель, но кривая осталась прежней. Т.е. направление вектора осталось, а длина изменилась!

Обозначение: Единичный направляющий вектор касательной будем обозначать

Если производная существует в каждой точке, то она сама является функцией, а значит можно взять производную от производной. Т.о. получится вторая производная = и т.д.

Определение: п производной вектор-функции называется производная от п -1 производной. =

Замечание: Для производной вектор-функции справедливы основные теоремы о производных скалярных функций.

Теорема: Пусть для вектор-функций , и скалярной функции λ (t) существуют производные, а постоянный вектор, тогда

Доказательство: Рассмотрим только одно свойство

=

= =

= =

= + =

= + == +

Аналогично доказываются остальные свойства.

Теорема: Если вектор-функция имеет постоянную длину, тогда её производная перпендикулярна самой вектор-функции.

Доказательство: Пусть = с, тогда · = = с ².

=0 =0 .

Замечание: Это важное свойство вектор-функций мы неоднократно будем применять в дальнейшем.

Задача. Докажите, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, восстановленному в точку касания.

Решение. Уравнение окружности х ²+ у ²= а ² или х=а ·соs t · · у=а ·sin t,

Или , причем = а, тогда по предыдущей теореме, производная вектор-функции (вектор касательной) перпендикулярна самой вектор-функции (радиусу окружности).

Теорема: Для того, чтобы вектор-функция =(х (t); у (t); z (t)) имела производную необходимо и достаточно, чтобы координатные функции имели производные.

Тогда =(х´ (t); у´ (t); z´ (t)), =(х″ (t); у″ (t); z″ (t)) и т.д.

Доказательство: 1. Пусть = х (t)· + у (t)· + z (t)· - имеет производную,

т.е. = а ₁· + а ₂· + а ₃· .

Координатные функции можно найти следующим образом:

х (t) = · , у (t) = · , z (t)= · ,

а ₁ = · , а ₂ = · , а ₃= · ,

Найдем производные координатных функций:

х´ (t)= у´ (t)=

z´ (t)= =(х´ (t); у´ (t); z´ (t)).

2. Пусть х (t), у (t), z (t) - дифференцируемы.

Тогда = = + + =

= х´ (t)· + у´ (t)· + z´ (t)· = (х´ (t); у´ (t); z´ (t)).

Для того, что бы вектор-функция была k - раз дифференцируема, необходимо и достаточно, что бы координатные функции х (t), у (t), z (t) были дифференцируемы k – раз. В этом случае вектор-функция называется регулярной класса k, т.е. .

Задача. Найдите и для

Решение. х (t) = а ·соs t, у (t) = а ·sin t, z (t) = b·t

х ′(t) = - а ·sin t, у ′(t) = а ·соs t, z ′(t) = b, тогда

х ″(t) = - а ·соs t, у ″(t) = - а ·sin t, z ″ (t) = 0

Замечание: Если не оговорено особо, то будем считать, что вектор-функция дифференцируема достаточное число раз (т.е. ).

Для k - раз дифференцируемой вектор-функции справедливо разложение в ряд Тейлора в окрестности точки t ₀:

= + + + +…+ ...

Или = + + + +…+ +…

Определение: Если в окрестности точки t ₀ вектор-функцию можно разложить в ряд Тейлора, то она называется аналитической.

В каком случае вектор-функция будет задавать элементарную кривую?

Теорема: Пусть х (t), y (t), z (t) дифференцируемые функции, причем

t (a, b) х ′ ² + y ′ ² + z ′ ² ≠ 0, тогда векторная функция одного скалярного аргумента = (х (t); y (t); z (t)) задает некоторую элементарную кривую.

Замечание: Эту теорему можно сформулировать следующим образом: вектор-функция задает элементарную кривую в окрестности точки t ₀, если ≠ ō.

Замечание: Некоторые кривые при подходящем выборе осей координат допускают параметризацию вида или . Это бывает удобнее.

Теорема. Пусть окрестности некоторой точки t ₀ регулярная кривая задана уравнениями и х ′(t ₀) ≠ 0, тогда в достаточно малой окрестности точки t ₀, кривая может быть задана уравнениями у= φ (х) z=ψ (х).

(без доказательства).

Теорема. Пусть F (х,у,z)=0 и Φ (х,у,z)=0 - регулярные функции от трех переменных (поверхности в E ³) и для некоторой точки М(х ₀ ; у ₀ ; z₀ ) F (х ₀, у ₀,z₀)=0 и Φ (х ₀, у ₀,z₀)=0 (т.е. точка принадлежит поверхностям). Тогда для того чтобы в окрестности этой точки эти уравнения задавали элементарную кривую необходимо и достаточно, чтобы

= 2.

(без доказательства).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: