Соприкасающаяся плоскость

Пусть дана некоторая кривая γ и точка М γ. Рассмотрим окрестность точки М. Пусть π - некоторая плоскость, проходящая через точку М и К γ.

Обозначим КМ= d, ρ (π, К)= h

Определение. Если = 0, тогда плоскость π называется соприкасающейся плоскостью для кривой γ в точке М.

Теорема. Любая регулярная кривая в любой своей точке имеет соприкасающуюся плоскость. Причем эта плоскость или единственна или любая плоскость содержащая касательную является соприкасающейся.

Доказательство. Предположим, что такая плоскость есть и - единичный вектор нормали для этой плоскости.

Тогда h = .

Т.к. и

Разложим вектор-функцию в ряд Тейлора:

= + + +

= - = Δ t + +

h = =│( · ) Δt+ ( · ) + · │

Т.к. d ² = ² =│ Δ t + + │² = ²Δ t ²+ ε₁(Δ t ³)

Т.о., если плоскость соприкасающаяся тогда = 0

0=

Если · ≠0, тогда =∞,

Если · =0 и · ≠0, тогда = ≠0,

Если · =0 и · = 0, тогда = 0.

Т.о. · =0 и · = 0 и

Если векторы и не коллинеарны и отличны от нулевого вектора, тогда единичный вектор нормали соприкасающейся плоскости определяется однозначно ║ × .

Если векторы и ·- коллинеарны или один из них равен нулевому вектору, то любая плоскость будет соприкасающейся.

Вывод: Нормальный вектор соприкасающейся плоскости ║ × .

Замечание. Если кривая γ – плоская и лежит в плоскости α, то α и будет соприкасающейся плоскостью.

Обозначение: В дальнейшем единичный вектор, перпендикулярный соприкасающейся плоскости, будем обозначать

Задача. Составить уравнение соприкасающейся плоскости для кривой γ: в точке М для которой t = -1.

Решение. Найдем координаты точки М и векторы первой и второй производных.

= (-3; 3; -2).

= (-6; -6; 2)

║ × = || (1; -3; -6)

Тогда соприкасающаяся плоскость имеет уравнение:

1·(х – (-3)) + (-3)·(у – (-6)) + (-6)·(z – 5) = 0 х – 3 у - 6 z – 15 = 0.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: