Преобразование характеристик при дифференцировании случайных процессов

Предварительно следует напомнить обучающимся изложенные на лекции характеристики производной случайного процесса.

В задачах практики чаще всего встречаются случайные функции времени. Однако, приходится иметь дело и со случайными функциями двух и более аргументов. Например: 1. Поверхность волнующегося моря, снятая в каждый данный момент времени, представляет собой случайную поверхность, аппликата которой является случайной функцией 2-х аргументов – абсциссы и ординаты. 2. Вектор скорости ветра в турбулентной атмосфере является случайной функцией 4-х аргументов – координат точки пространства и времени.

Имея ввиду приведенные примеры, дадим следующее общее определение:

Случайной функцией называется функция неслучайного аргумента (или аргументов), которая при каждом фиксированном значении аргумента (аргументов) является случайной величиной.

Чаще всего встречаются случайные функции времени, характеризующие процесс изменения случайной величины с течением времени. Такие случайные функции называются случайными (иногда стохастическими) процессами.

Случайным (стохастическими) процессом называется случайная функция аргумента t, который истолковывается как время.

Случайные процессы аргумента t обозначают прописными буквами X(t), Y(t) и т.д.

Примеры: 1. если самолет должен лететь с заданной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета – случайная функция от непрерывно изменяющего аргумента (времени), т.е. скорость есть случайный процесс.

2. Наиболее выразительный пример случайного процесса – физич. процесс броуновского движения.

3. Многие важные процессы в природе и на производстве являются примерами случайных процессов: турбулентные течения жидкостей и газов; распространение радиоволн при наличии помех; движение транспортных потоков и др.

Заметим, что если аргумент случайной функции изменяется дискретно, то соответствующие ему значения случайной функции (случайные величины) образуют случайную последовательность.

Для краткости дальнейшего изложения введем понятие сечения.

Сечением случайного процесса называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента t.

Пусть X (t) - случайный процесс, - его производная. Тогда верны следующие свойства:

1) .

2) .

3) , .

Пример 1. Найти математическое ожидание m_X (t), корреляционную функцию К_X (t ₁, t ₂), дисперсию D_X (t) случайного процесса Х (t) = U sh t – 3е^-3t V + t ², где U, V - некоррелированные случайные величины, U R (-3; 3), V Р (1.2).

Решение. Сначала вычислим м. о. и дисперсии случайных величин U и V: .

По свойству 2) п.2 м.о. от суммы с.п. равно сумме м.о. от слагаемых:

.

По свойству 1) п.2 м.о. неслучайной функции равно самой функции. Поэтому . По свойству 5) п.2 множитель с. п. в виде неслучайной функции выносится за знак м.о. Следовательно,

В итоге получим

Теперь найдем корреляционную функцию. По свойству 3) п. 4 прибавление к с.п. неслучайной функции t ² не влияет на корреляционную функцию. Поэтому

.

Так как с.п. U sh t и –3е^-3t V некоррелированы из-за некоррелированности случайных величин U, V, то по формуле (2) получаем

.

Теперь по свойству 4) и 5) пункта 4 имеем

, .

Таким образом,

.

Дисперсию найдем по свойству 6) пункта 4:

.

Пример 2. Найти взаимную корреляционную функцию двух случайных процессов и , где – случайная величина, причем .

Решение. Найдем математические ожидания:

.

Найдем центрированные процессы

,

.

Найдем взаимную корреляционную функцию:

.

Итак, искомая взаимная корреляционная функция

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: