Первообразная и неопределенный интеграл.

Лекция № 7

Первообразная и неопределенный интеграл.

Волгодонск

Первообразная и неопределенный интеграл.

Определение: Первообразной F(x) для функции f(x) на промежутке называют функцию, производная которой .

Пример. Для функции : первообразная на R, так к при любом х.

Лемма.Если производная функции на промежутке , то .

Доказательство: По теореме Лагранжа для любых x₁, x₂ Î выполняется , где , так как Þ Þ Þв силу произвольности точек x₁ и x₂ F(x) = C(const).

Ч.т.д.

Теорема: Пусть функция F(x) – первообразная f(x), Ф(x) – другая первообразная f(x) Þ F(x)=Ф(x)+С.

Доказательство: так как Þ по Лемме Þ .

Ч.т.д.

Таким образом, из теоремы следует, что выражение описывает все множество первообразных функции f(x).

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) по переменной x называется множество всех её первообразных , где .

ò ‒ знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интеграла, ‒ подынтегральное выражение, С – const интегрированная.

Вычисление неопределенного интеграла называют интегрированием. Проверить правильность вычисления неопределенного интеграла можно продифференцировав результат.

; - верно

Свойства неопределенного интеграла.

Замена переменных в неопределенном интеграле.

Пусть функция является дифференцируемой и обратимой , на множестве значений которой определена функция Þ = .

Пример: = = = = = = .

Пример: = = =e^t+C=e^{sin x}+C.

Таблица интегралов.

	, n≠-1

25

26

26

Теоретические вопросы для самопроверки.

1. Что такое первообразная?

2. Что такое неопределённый интеграл и в чём отличие его от первообразной?

3. Какие свойства неопределённого интеграла знаете?

4. Зачем нужна замена переменных в неопределенном интеграле?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: