Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Показательная функция, ее свойства и график




 

Функцию вида y=ax, где а>0, a?1, х – любое число, называют показательной функцией.

Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.

Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех положительных чисел.

Показательная функция y=ax возрастает при a>1.

Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

 

а0=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

а1=а Любое число в первой степени равно самому себе.

ax?ay=ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

ax:ay=ax- y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

(ax)y=axy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают

(a?b)x=ax?by При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

(a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

а-х=1/ax

(a/b)-x=(b/a)x.

Примеры.

 

1) Построить график функции y=2x. Найдем значения функции

 

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

 

x=0, y=20=1; Точка А.

 

x=1, y=21=2; Точка В.

 

x=2, y=22=4; Точка С.

 

x=3, y=23=8; Точка D.

 

x=-1, y=2-1=1/2=0,5; Точка K.

 

x=-2, y=2-2=1/4=0,25; Точка M.

 

x=-3, y=2-3=1/8=0,125; Точка N.

 

 

 

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

 

2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции

 

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

 

x=0, y=(?)0=1; Точка A.

 

x=1, y=(?)1=?=0,5; Точка B.

 

x=2, y=(?)2=?=0,25; Точка C.

 

x=3, y=(?)3=1/8=0,125; Точка D.

 

x=-1, y=(?)-1=21=2; Точка K.

 

x=-2, y=(?)-2=22=4; Точка M.

 

x=-3, y=(?)-3=23=8; Точка N.

 

 

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)x убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции 0<(1/2)<1.

 

3) В одной координатной плоскости построить графики функций:

 

y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.

 

График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

 

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).

 

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

 

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

 

 

 

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

 

y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.

 

Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

 

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.

 

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

 

Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

 

Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

 

Решить графически уравнения:

 

1) 3x=4-x.

 

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.

 

 

 

Графики пересеклись в точке А(1; 3).

 

Ответ: 1.

 

2) 0,5х=х+3.

 

 

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х

 

(y=(1/2)x)

 

и у=х+3.

 

Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

 

Ответ: -1.

 

Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.

 

Решение.

 

1) y=-2x

 

Область значений показательной функции y=2x – все положительные числа, т.е.

 

0<2x<+?. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

 

—?<-2x<0.

 

Ответ: Е(у)=(-?; 0).

 

2) y=(1/3)x+1;

 

0<(1/3)x<+?, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

 

0+1<(1/3)x+1<+?+1;

 

1<(1/3)x+1<+?.

 

Ответ: Е(у)=(1; +?).

 

3) y=3x+1-5.

 

Запишем функцию в виде: у=3х?3-5.

 

0<3x<+?; умножаем все части двойного неравенства на 3:

 

0?3<3x?3<(+?)?3;

 

0<3x?3<+?; из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

 

0-5<3x?3-5<+?-5;

 

— 5<3x?3-5<+?.

 

Ответ: Е(у)=(-5; +?).

 

Степени

 

 

 

 

 

 

 

Корни

 

 

 

 

 

 

Логарифмы

 

y = logb(x) тогда и только тогда, когда x=b y

 

 

удобно пользоваться легко запоминающейся формулой:

 

 

где в правой части логарифмы при любом (одном и том же основании)

 

Свойства:

 

 

 

 

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных