КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА

ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ

Области знания, которые в какой-то мере касаются материалов или их обработки, обязательно базируются на таких понятиях, как кристаллическая структура, тип кристаллической решётки, плотность упаковки атомов в решётке, кристаллографическое направление, кристаллическая плотность. К этим областям относятся дислокационная теория пластической деформации, теория деформационного упрочнения, теория кристаллизации и свойство монокристаллов, физическая акустика, кристаллография, рентгенография и многие другие.

Целью занятия является изучение кристаллической структуры металла, расчеты её параметров и выработка у студентов навыков и умения определения типа кристаллической структуры металла, самостоятельного расчета таких параметров кристаллической структуры, как координационное число К, число атомов в элементарной ячейке n, плотность упаковки атомов в решётке g, координаты атомов [m n p], кристаллографические символы направлений в решётке [m n p] и символы кристаллических плоскостей (h k l).

СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ

Содержание занятия включает ознакомление с основными понятиями и элементами кристаллической структуры металла и их практическим использованием при анализе свойств конструкционных материалов.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА

Кристаллическая решетка описывает закон расположения атомов металла в пространстве. Большинство конструкционных металлов кристаллизуются в структуры, которые имеют кубическую или гексагональную решётку. Минимальный по объёму параллелепипед, размножением которого по трём осям можно получить всю кристаллическую решётку, называется элементарной ячейкой. Величины ребер а, в, с и углы между ними α, β, γ являются параметрами элементарной ячейки. Для кубической решётки параметры элементарной ячейки характеризуются тем, что а=в=с, α=β=γ=90°, для гексагональной → а=в≠с, α=β=90°, γ=120º. Кубическая решётка характеризуется двумя вариантами расположения атомов в элементарной ячейке. В первом варианте атомы металла расположены в вершинах кубической элементарной ячейки и в центре куба (рис. 1а). Её имеют такие металлы как α-Fe, Mo, W, Cr. Во втором варианте атомы металла расположены в вершинах куба и в центрах граней (рис. 1б). Такую решетку называют кубической гранецентрированной (ГЦК). Она характерна для Al, Ni, Cu, γ-Fe и других металлов. Элементарной ячейкой гексагональной решётки является гексагональная призма, показанная на рисунке 1в. Внутри такой ячейки расположены три атома металла с координатами [1/3 2/3 1/2]. Атомы расположены также в вершинах ячейки и в центрах нижней и верхней граней. Атомы расположены также в вершинах ячейки и в центрах нижней и верхней граней. Такую решетку (она называется гексагональной плотноупакованной – ГПУ) имеют многие конструкционные металлы: Mg, Be, α-Ti, Zn, Cd.

При анализе структуры металла рассматриваются в виде шаров, радиусом R, которые образуют плотные упаковки.

Координационное число К – это число ближайших соседних атомов, равноудаленных отданного атома. Чем выше координационное число, тем более плотно упакована структура. В ОЦК решетке К = 8, в решётках ГЦК и ГПУ координационное число равно 12. В соответствии со значением координационного числа принято решётку ОЦК обозначать К8, ГЦК и ГПУ, соответственно, как К12 и Г12.

Рисунок 1. Типы кристаллических решеток: а – кубическая объемно-центрированная (ОЦК); б – кубическая гранецентрированная (ГЦК);

в - гексагональная плотноупакованная (ГПУ)

Из других важных характеристик атомной структуры металла основными являются компактность (плотность) упаковки g, число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку n, симметрия и параметры элементарной ячейки.

Плотность упаковки. Под плотностью упаковки понимают отношение объёма атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку к объёму всей элементарной ячейки. Плотность упаковки записывается в виде

где n – число атомов в элементарной ячейке; V_am – объём одного атома; V_яч – объём элементарной ячейки.

В таблице 1 приведены значения g для структур, построенных из шара радиусом R. Видно, что значение координационного числа К прямо коррелирует с плотностью упаковки шаров. С уменьшением координационного числа К плотность упаковки g убывает. Максимальное значение g=74% характерно для плотнейших упаковок шаров, в которых лишь около ¼ всего объёма кристалла приходится на пустоты между шарами.

Таблица 1. Плотность упаковки g для разных структур

Тип структуры	Координационное число, К	Плотность упаковки, g	Значение g в %
Плотнейшие упаковки К12, Г12			74,04
Кубическая К8			68,10
Кубическая простая		П/6	52,30
Кубическая алмазная			34,00

В простой кубической структуре объём пустот составляет почти половину объёма кристалла. В структуре алмаза на объём шаров приходится только 1/3 всего объёма кристаллов. Эта структура с точки зрения плотности упаковки является весьма рыхлой.

Координаты атома. Положение любого атома в кристаллической решетке можно определить с помощью радиуса вектора R=ma+nв+рс, проведённого из начала координат к данному атому, где m, n, p - целые числа; а, в, с – трансляции по осям координат, численно совпадающие с величинами ребер элементарной ячейки. Числа m, n, p однозначно определяют положение атома в решётке. Записанные в двойных квадратных скобках эти числа и есть координаты атома [ m n p ]. Для сложных решёток координаты некоторых атомов будут дробными. Например, атом в центре объёма элементарной ячейки имеет координаты [1/2 1/2 1/2].

Символы прямой. Через начало координат в кристаллической решетке можно провести бесконечно большое количество узловых прямых. На любой прямой координаты атома [ m n p ], ближайшего к началу координат, взятые в одинарные квадратные скобки, принимаются за символы данной прямой. На рисунке 2 показаны некоторые из основных направлений кубического кристалла. Если необходимо подчеркнуть не конкретное направление в решетке, а направление такого-то типа, то числа mnp записывают в угловых скобках. Например, направление типа <100> в кубической решетке включает в себя одновременно и положительные направления по осям координат [100], [010], [001], и отрицательные направления [ī00], [0ī0] и [00ī]. Знак минус в кристаллографии принято ставить над цифрой.

Рисунок 2. Индексы важнейших направлений кубической решётки

Рисунок 3. Кристаллографическая плоскость (h k l)

Символы плоскости. Возьмём в пространственной решётке некоторую плоскость, заполненную атомами. Пусть она отсекает по осям координат отрезки А, В и С (рис. 3). Уравнение такой плоскости в отрезках имеет следующий вид:

. (1)

Координаты X, Y, Z в этом уравнении являются одновременно координатами атомов, лежащих в этой плоскости. Они равны: X = ma, Y = nв, Z = pc. Подставляя эти значения в уравнение плоскости, получаем уравнение [2]

где m, n, p – целые числа. Так как правая часть уравнения (2) равна единицы, то отношения a/A, в/B, c/C должны представлять собой рациональные числа. Отношение между ними всегда равно отношению трёх простых целых чисел h, k, l. Эти числа и называются индексами плоскости. Записывают их в круглых скобках (h k l). Учитывая пропорциональность индексов, можно написать

Подставив полученные значения h, k и l в уравнение плоскости [2], получим уравнение плоскости в следующем виде:

(3)

Сравнение уравнений (2) и (3) показывает, что индексы плоскости h k l равны коэффициентам в уравнении кристаллографической плоскости (уравнение 2).

Для практического определения (h k l) находят отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, и берут обратные им величины. Если эти величины оказываются дробными, то их приводят к общему знаменателю f.

Например, определим индексы (h k l) плоскости, параллельной координатной плоскости YOZ и пересекающей ось X в точке с координатой X=a (рис. 4). Эта плоскость отсекает на осях координат следующие отрезки: по оси Х_А=I, по оси Y_B=∞, по оси Z_C=∞. Обратные им величины будут: h= I/A=I, k =I/B=I/∞=0, l =I/C=I/∞=0. Следовательно, проведённая плоскость будет иметь индексы (100).

Рисунок 4. Кристаллографическая плоскость (100)

При нахождении индексов плоскости нужно помнить, что начало координат может быть помещено в любой узел пространственной решётки. Если на рисунке 4 начало координат сместить по оси Х на величину а, то бывшая координатная плоскость YOZ будет иметь индексы (ī00). В общем случае плоскости, отличающиеся знаками всех индексов, являются параллельными и принадлежат к одному семейству. Например, плоскость (100) параллельна плоскости (ī00), плоскость (110) – (īī0), (111) – (īīī).

Кристаллографические плоскости неодинаково заполнены атомами. В таблице 2 приведены данные о плотности заполнения атомами плоскостей (100), (110), (111) решёток К8 и К12. В таблице 2 S – площадь плоскостей (100), (110), (111), приходящиеся на элементарную ячейку, N – число атомов, приходящихся на эту площадь в элементарной ячейке, N/S – плотность заполнения указанных плоскостей. Из таблицы следует, что плоскость (110) в решетке К8 и плоскость (111) в решётке К12 наиболее плотно заполнены атомами. Эти плоскости и являются основными плоскостями скольжения в решётке К8 и К12.

Таблица 2. Плотность заполнения плоскостей (100), (110), (111) решёток К8 и К12

Направлениями скольжения являются направления с минимальными расстояниями между атомами: в решётке К8 это направление [111], а в решётке К12 – [110], рисунок 2.

3.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПОНЯТИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЁТКИ

По современным представлениям, пластическая деформация является результатом движения дислокация. Дислокация характеризуется вектором Бюргерса, его величиной и ориентацией в кристаллической решётке. Не вдаваясь в подробности, укажем, что, например, в решётке ГЦК (К12) существует дислокации с векторами Бюргерса а/2<110>, a/6<112>, a/3<111>, a/6<110>, где а – период элементарной ячейки, а в скобках указаны индексы направления в решётке. Дислокации могут перемещаться вдоль плоскостей скольжения. Для решётки К12 это плоскости типа {112}, которые характеризуются наибольшей плотностью упаковки атомов. Дислокация а/2<110> и а/6<112>, векторы Бюргерса которых лежат в плоскости скольжения, наиболее легко перемещаются в этих плоскостях. И именно оно вносят основной вклад в пластическую деформацию металла. Дислокация а/3<111>, вектор Бюргерса которой перпендикулярен плоскости (111), скольжением перемещаться не может. Единственный вид её перемещения – переползание из одной плоскости в другую в направлении [111] путём диффузии. Дислокация, а/6<110>, хотя и лежит в плоскости скольжения, но перемещаться не может, ни скольжением, ни переползанием, так как ось этой дислокации совпадает с линией пересечения двух плоскостей скольжения. Такая дислокация называется вершиной. Макроскопическая деформация сдвига, реализуемая при обработке металла давлением, определяется как δ=ρ×в×Ẍ, где ρ – плотность дислокации в металле, в – вектор Бюргерса дислокации, Ẍ - средняя длина свободного пробега дислокации во время деформации металла. Из вышеизложенного ясно, что без введения понятий о кристаллической решётке и её параметрах невозможно вообще построение теории дислокаций и в конечном итоге объяснение прочности и пластичности металла и сплавов.

Плоскость скольжения дислокации и направление скольжения определяют такое понятие как система скольжения. Например, в той же решётке К12 плоскость скольжения (111) и направление скольжения [110] определяют систему скольжения (111) [110]. Чем больше в кристаллической решётке систем скольжения, тем выше её способность к пластической деформации. Число же систем скольжения определяется типом решётки и плотностью упаковки атомов. Решётки типа К8 и К12 имеют по 48 систем скольжения. Конструкционные металлы Al, α- и γ- Fe, Cu, Ni, Cr, Mo, W (последние три очищенные от примесей внедрения) с такими решётками характеризуются высокой пластичностью. Относительное удлинение δ у этих металлов находится на уровне 40-70%. У металлов с гексагональной решёткой всего 6 систем скольжения (при условии, что с/a≥1,633), поэтому у Mg, Be и других металлов с гексагональной решёткой пластичность низкая, δ≤10%.

Пластическая деформация металла кардинально меняет структуру и эффективно влияет на его свойства. При деформации зёрна металла изменяют свою форму, вытягиваясь в направлении главной деформации растяжения. При этом протекает процесс ориентации зёрен, или так называемый процесс формирования текстуры деформации. Например, в прессованных прутках из алюминиевых сплавов наблюдается аксиальная текстура деформации [111]. Это значит, что большинство зёрен ориентируется в результате деформации таким образом, что их кристаллографическое направление [111] становится параллельным оси прутка. В катанных листках, прессованных плоских полуфабрикатах алюминиевых сплавов зерна ориентируется так, что их кристаллические плоскости (110) становятся параллельными плоскости деформации, а направление [112] – параллельным направлению деформации. Образуется текстура деформации (110) [112].

Можно привести ещё много примеров использования понятий кристаллической структуры и её параметров в теоретическом и практическом плане. Однако из того, что уже сказано, ясно, сколь велика роль структуры в формировании свойств материала и в объяснении этих свойств. Знание этой взаимосвязи позволяет создавать материалы с заданными свойствами.