ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Частные производные высших порядков. Частные производные и функции z=f (x, y), вообще говоря, являются функциями переменных x и yЧастные производные и функции z=f (x, y), вообще говоря, являются функциями переменных x и y. Поэтому их можно снова дифференцировать по x и y. В результате получим четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются так: , , , . Производные и называются смешанными. Если смешанная производная непрерывна при данных значениях x и y, то ее величина не зависит от порядка переменных, по которым берутся производные, т. е. = . Частные производные более высокого порядка определяются аналогично. Пример 2. Найти частные производные второго порядка от функции z=x 3 -2 x 2 y + 3 y 2 -5 xy. Решение:
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Определение 4. Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, в которой лежат все касательные к линиям, проходящим по поверхности через данную точку. Определение 5. Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания, называется нормалью к поверхности в этой точке. Если z=f (x, y) есть уравнение поверхности, то уравнения касательной плоскости и нормали к ней в точке имеют соответственно вид (1) (2) Здесь и – значения частных производных при x=x 0, y=y 0. Если поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0, то касательная плоскость к поверхности в точке определяется уравнением (3) а уравнения нормали – . (4) Пример 3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z= 2 x 2 + 4 y 2 в точке М 0(1; 2; 18). Решение. ; . При x =1, y =2 получим ; . По формуле (1) составим уравнение касательной плоскости z -18 =4(x -1) + 16(y -2) или 4 x + 16 y - z -18 = 0; уравнения нормали составим по формуле (2): . 5. Экстремумы функции двух переменных Определение 6. Точка P 0(x 0, y 0) называется точкой максимума (или минимума) функции z=f (x, y), если для всех точек P (x, y), достаточно близких к точке P 0 и отличных от нее, выполняется условие f (x 0, y 0) > f (x, y) (или f (x 0, y 0) < f (x, y)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции или экстремальными. Теорема 1. (Необходимое условие экстремума). Если в точке P 0(x 0, y 0) функция z=f (x, y) достигает экстремума, то в этой точке ее частные производные равны нулю или не существуют. Точки, в которых частные производные и равны нулю или не существуют, называются критическими. Необходимое условие экстремума не является достаточным, т. е. из него не следует, что в критической точке обязательно существует экстремум. Для исследования функции в критических точках используют достаточные условия. Теорема 2. (Достаточные условия экстремума). Пусть точка P 0(x 0, y 0) является критической точкой функции z=f (x, y), в которой и , и пусть в этой точке функция имеет непрерывные частные производные второго порядка , , . Тогда при x = x 0, y = y 0: 1) f (x, y) имеет максимум, если АС-В 2 > 0 и А < 0; 2) f (x, y) имеет минимум, если АС-В 2 > 0 и А > 0; 3) f (x, y) не имеет ни максимума, ни минимума, если АС-В 2 < 0; 4) если АС-В 2 = 0, то экстремум может быть и может не быть и требуется дополнительное исследование. 6. Производная по направлению. Градиент Пусть даны точки М (x, y) и М 1(x + Δ x, y + Δ y) и пусть вектор задает некоторое направление . Определение 7. Производной функции z=f (x, y) в точке М (x, y) по направлению называется предел, обозначаемый и равный , где . Теорема 3. Если функция z=f (x, y) дифференцируема в точке М (x, y), то существует производная в этой точке по любому направлению и справедлива формула , (5) где cosα и cosβ – направляющие косинусы вектора . Определение 8. Градиентом функции z=f (x, y) в точке М (x, y) называется вектор, координаты которого равны частным производным функции в этой точке: . (6) В направлении градиента скорость возрастания функции наибольшая и равна |grad z |. Для функции u = f (x, y, z) производная по направлению и grad u в точке М (x, y, z) вычисляются по формулам: , Здесь cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы вектора . . Решение типового варианта Задача 1. Проверить, удовлетворяет ли уравнению функция . Решение. Находим . Дифференцируя повторно, получим Подставим полученные выражения в левую часть уравнения:
Получаем тождество, т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению. Задача 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М 0(1; 2; -1). Решение. Найдем частные производные функции и вычислим их значения в точке М 0:
Подставляя их в уравнения (3) и (4) получим соответственно уравнение касательной плоскости или и канонические уравнения нормали Задача 3. Найти экстремумы функции . Решение. Находим . По необходимому условию экстремума критические точки найдем из системы Получаем x =0, y =3, М 0(0; 3). Вычислим частные производные второго порядка в точке М 0:
Так как AC - B 2 = 3>0 и A<0, то согласно достаточным условиям экстремума в точке М 0 функция имеет максимум и . Задача 4. Даны функция z =5 x 2 –3 x – y –1 и точки А (2; 1), В (5; 5). Найти в точке А и производную по направлению в точке А. Вычислим значения частных производных функции в точке А:
Найдем по формуле (6): =17 - . Определим координаты вектора : , здесь x 1, y 1 – координаты точки А, x 2, y 2 – координаты точки B. Длина вектора равна , а направляющие косинусы , По формуле (5) вычислим производную по направлению : Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|