Алгебраические свойства векторного произведения. Для любых векторов , , и любого действительного числа :

Для любых векторов , , и любого действительного числа :

1. ;

2. ;

3. .

Первое свойство определяет антисимметричность векторного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство "противоположно" закону коммутативности умножения чисел (закон антикоммутативности), второе свойство соответствует закону дистрибутивности умножения чисел по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является вектор, то такое произведение векторов называется векторным.

Докажем первое свойство, предполагая, что векторы и не коллинеарны (в противном случае обе части доказываемого равенства равны нулевому вектору). По определению векторы и имеют равные длины и коллинеарны (так как оба вектора перпендикулярны одной плоскости). По определению тройки векторов и — правые, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от к происходит в положительном направлении (против часовой стрелки), если смотреть из конца вектора , а вектор направлен так, что кратчайший поворот от к происходит в положительном направлении, если смотреть из конца вектора (рис. 1.43). Это означает, что векторы и противоположно направлены. Следовательно, , что и требовалось доказать. Доказательство остальных свойств приведено ниже (см. пункт 1 замечаний 1.13).

Координаты вектора с находим с помощью определителя матрицы:

Рассчитываем определитель, приводим подобные, коэффициенты при I,J,k и будут координатами x, y, z соответственно.

Билет 12

Билет 13

Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 (x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x (x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α· x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β · x) = (α·β) · x − умножнение на число ассоциативно:;

1 · x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α· x + α· y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β )· x = α· x + β · x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

Набор векторов называется системой векторов.

Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.

Замечания 1.2

1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при — линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: