Моделирование в процессе решения текстовых задач

Рассматривая процесс решения текстовой задачи, мы неоднократно использовали термин «модель», «моделирование». Это не случай, но. Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому более простую, чем эта реальность.

Ранее мы установили, что текстовая задача - это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т. е. построить ее математическую модель.

Вообще, математическая модель - это описание какого-либо реального процесса на математическом языке.

Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.

В процессе решения задачи четко выделяются три этапа математического моделирования:

I этап - это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними;

II этап - внутримодельное решение (т.е. нахождение знамени» выражения, выполнение действий, решение уравнения);

III этап - интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Проиллюстрируем сказанное на примере решения алгебраическим методом следующей задачи: «В одном вагоне электропоезд было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого, вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, то обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?»

Обозначим через х первоначальное число пассажиров во втором гоне. Тогда число пассажиров в первом вагоне - 2х. Когда из первого вагона вышли 3 человека, в нем осталось 2х - 3 пассажира. Во второй вагон вошли 7 человек, значит, в нем стало х + 7 пассажиров. Так как в обоих вагонах пассажиров стало поровну, то можно записать что 2х - 3 = х + 7. Получили уравнение – это модель данной задачи.

Следующий этап - решение полученного уравнения вне зависимости того, что в нем обозначает переменная х: переносим в левую часть члены уравнения, содержащие х, а в правую - не содержащие х, причем переносимых членов знаки меняем на противоположные: 2х - х = 7 + 3. Приводим подобные члены и получаем, что х = 10.

Последний, третий этап - используем полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи: во втором вагоне было первоначально 10 человек, а в первом - 20 (10×2 = 20).

Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический, т.е. I этап математического моделирования. Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели - схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и т.д.); от нее - к математической, на которой и происходит решение задачи.

Такой подход к процессу решения задачи разделяют и психологи. Они считают, что процесс решения задачи есть сложный процесс поиска системы моделей и определенной последовательности перехода от одного уровня моделирования к другому, более обобщенному, что решение задачи человеком есть процесс ее переформулирования. При этом используется такая операция мышления, как анализ через синтез, когда объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах. Главным средством переформулирования является моделирование.

Прием моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта (в нашем случае текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат переносятся на первоначальный объект.

Модели бывают разные, и поскольку в литературе нет единообразия, в их названиях, уточним терминологию, которую будем использовать в дальнейшем.

Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т.д.), они могут быть представлены разного рода инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

1) рисунок;

2) условный рисунок;

3) чертеж;

4) схематичный чертеж (или просто схема).

Разъясним суть этих моделей на примере задачи: «Лида нарисовала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?»

Рисунок в качестве графической модели этой задачи имеет вид (рис. 40).

Условный рисунок может быть таким, как на рисунке41.

Чертеж как графическая модель выполняется при помощи чертежных инструментов с соблюдением заданных отношений (рис. 42).

Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями. Пример такой таблицы см. на с. 113.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения задачи по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и знаковые, выполненные на естественном языке, - это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели.

Не следует думать, что всякая краткая запись или чертеж, выполненные для данной задачи, являются ее моделями. Так как модель – это своеобразная копия задачи, то на ней должны быть представлены все ее объекты, все отношения между ними, указаны требования.

Для большинства текстовых задач приходится строить различные вспомогательные модели. С одной стороны, эти модели представляют собой результат анализа задачи, но с другой - построение таких моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.

Рассмотрим процесс решения арифметическим методом текстовой задачи о пассажирах в двух вагонах.

Предварительный анализ задачи позволяет выделить ее объекты -это пассажиры в двух вагонах поезда. О них известно, что:

1) В первом вагоне в 2 раза больше пассажиров, чем во втором.

2) Из первого вагона вышли 3 пассажира.

3) Во второй вошли 7 пассажиров.

4) В первом и втором вагонах пассажиров стало поровну.

В задаче два требования:

1) Сколько пассажиров было первоначально в первом вагоне?

2) Сколько пассажиров было первоначально во втором вагоне? Построим графическую модель данной задачи в виде схематического чертежа (рис. 44).

По схеме сразу видно, что математическая модель данной задачи имеет вид:

7 + 3 - это число пассажиров во II вагоне, а (7 + 3)×2 - это число пассажиров в I вагоне. Произведя вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: во II вагоне было 10 пассажиров, а в I -20 пассажиров.

Упражнения

1. Используя материал данного параграфа, заполните следующую таблицу при условии, что решение задачи (РЗ) выполняется арифметическим методом.

2. Выполните анализ нижеприведенных задач, используя различные приемы:

а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку, причем их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик?

б) В трех классах всего 83 учащихся. В первом классе на 4 ученика больше, чем во втором, и на 3 меньше, чем в третьем. Сколько учеников в каждом классе?

в) Мальчики полили 8 яблонь и 4 сливы, принеся 140 ведер воды. Сколько ведер воды вылили под яблони, а сколько под сливы, если на полив одной яблони уходит воды в 3 раза больше, чем на полив одной сливы?

3. Выполните поиск плана решения арифметическим методом задачи а) из упражнения 2 по модели, а поиск плана решения задачи в) по тексту.

4. Запишите решение задачи из упражнения 2 по действиям с пояснением.

5. Какие из задач упражнения 2 вы можете решить различными арифметическими способами?

6. Каким образом можно проверить правильность найденного результата для задачи а) из упражнения 2?

7. Решите арифметическим методом задачи, выделяя этапы решения и приемы их выполнения:

а) Ручка в два раза дороже карандаша, а резинка в три раза дешевле карандаша. Ручка, карандаш и резинка стоят вместе 4000 р. Сколько стоит резинка?

б) Сын на 24 года младше мамы, а папа на 3 года старше мамы. Сколько лет папе, если сыну 10 лет?

в) Один кусок проволоки на 54 м длиннее другого. После того как от каждого из кусков отрезали по 12 м, второй кусок оказался в 4 раза короче первого. Найдите первоначальную длину каждого куска проволоки.

8. Дана задача: «Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше другого?»

Сравните разные способы ее решения.

1 способ 2 способ

1)76:2 = 38 (км/ч) 1)3×2 = 6 (км)

2)38 - 3 = 35 (км/ч) 2)76 - 6 = 70 (км)

3)35:2 = 17,5 (км/ч) 3)70:2=35(км)

4)17,5+3=20,5 (км/ч) 4)35:2=17,5(км/ч)

5)17,5 + 3 = 20,5(км/ч)

При каком способе рассуждения проще?

28. Решение задач «на части»

Само название вида задач говорит о том, что рассматриваемые в них величины состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других эти части надо суметь выделить, приняв подходящую величину за 1 часть и определив, из скольких таких частей состоят другие величины, о которых идет речь в задаче.

При решении таких задач арифметическим методом чаще всего используют вспомогательные модели, выполненные с помощью отрезков или прямоугольников.

Задача 1. Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара надо взять на 10 кг ягод?

Решение. В задаче речь идет о массе ягод и массе сахара, необходимых для варки варенья. Известно, что всего ягод 10 кг и что на 2 части ягод надо брать 3 части сахара. Требуется найти массу сахара, чтобы сварить варенье из 10 кг ягод.

Рис. 45

Сахара, по условию задачи, надо 3 таких части. Запишем решение по действиям с пояснением:

1) 10:2 = 5 (кг) - столько килограммов ягод приходится на каждую часть;

2) 5 × 3 = 15 (кг) - столько надо взять сахара. Вспомогательную модель к данной задаче можно было выполнить при помощи прямоугольников (рис. 46).

Решение. В задаче рассматриваются две пачки тетрадей. Всего тетрадей 70. В одной пачке тетрадей на 10 больше, чем во второй. Требуется узнать, сколько тетрадей было в каждой пачке.

Изобразим при помощи отрезка количество тетрадей во второй пачке. Тогда тетради в первой пачке можно представить в виде отрезка который больше второго (рис. 47). По чертежу видно, что если тетради

во второй пачке составляют 1 часть всех тетрадей, то тетради в первой составляют также 1 часть и еще 10 тетрадей.

Если эти 10 тетрадей убрать из первой пачки, то в пачках тетрадей станет поровну - столько, сколько во второй пачке.

Запишем решение задачи по действиям с пояснением.

1) 70-10 = 60 (тетр.) - столько тетрадей приходится на 2 равные части, или столько было бы тетрадей в двух пачках, если бы их было поровну - столько, сколько во второй пачке.

2) 60:2 = 30 (тетр.) - столько тетрадей приходится на 1 часть, или столько тетрадей было во второй пачке.

3) 30 +10 = 40 (тетр.) - столько тетрадей было в первой пачке. Вспомогательная модель подсказывает и второй способ решения данной задачи. Если за 1 часть принять тетради в первой пачке, то чтобы во второй стало столько же, надо к ней добавить 10 тетрадей. И тогда решение будет таким:

1) 70+10 = 80 (тетр.)

2) 80:2 = 40 (тетр.)

3) 40-10 = 30 (тетр.)

Существует и третий арифметический способ решения данной задачи. Разделим 10 тетрадей пополам и одну половину оставим к первой пачке, а другую добавим во вторую. Тогда тетрадей в пачках станет поровну и можно, разделив 70 на 2 равные части, узнать, сколько тетрадей в каждой такой пачке, а затем их первоначальное количество в каждой пачке.

1) 10:2 = 5 (тетр.) - столько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую, чтобы в них тетрадей стало поровну.

2) 70:2 = 35 (тетр.) - столько тетрадей в каждой пачке, если из первой переложить во вторую 5 тетрадей.

3) 35 + 5 = 40 (тетр.) - столько тетрадей в первой пачке.

4) 35-5 = 30 (тетр.) - столько тетрадей во второй пачке.

Задача 3. Сумма двух чисел 96, а разность 18. Найдите эти числа.

Решение. В этой задаче требуется найти два числа по их сумме и разности. Так как разность искомых чисел равна 18, то одно число больше другого на 18. Получаем задачу, аналогичную задаче 2: «Одно число больше другого на 18. Сумма чисел равна 96. Найти эти числа». Решить ее можно тремя арифметическими способами.

Задача 4. В двух кусках ткани одинаковое количество материи. После того как от одного куска отрезали 18 м, а от другого 25 м, в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани было в каждом куске первоначально?

Решение. Объекты задачи - два куска ткани одинаковой длины. От первого отрезали 18 м, от второго - 25 м. После этого в первом осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Требование задачи -найти первоначальное количество метров ткани в каждом куске.

Изобразим куски ткани при помощи отрезков одинаковой длины, а затем покажем на них то количество ткани, которое отрезали и которое осталось.

Если количество ткани, которое осталось во втором куске, - это 1 часть, то количество оставшейся ткани в первом куске - это 2 таких части. По чертежу (рис. 48) видно, что на 1 часть приходится количество ткани, которое легко найти. За­пишем найденное решение по действиям:

1) 25-18 = 7 (м) - на столько больше ткани отрезали от второго куска, или количество ткани, которое осталось во втором куске

2) 7 + 25 = 32 (м) - столько ткани было первоначально во втором куске (и, следовательно, в первом) куске.

Упражнения

1. Изобразите при помощи отрезков ситуации:

а) купили р кг яблок, а груш на t кг больше;

б) купили p кг яблок, а груш в 2 раза больше.

Какими могут быть требования к данным ситуациям? Для каждого случая постройте модель и обозначьте на ней требования.

2. Требуется смешать 3 части песка и 2 части цемента. Сколько цемента и песка в отдельности надо взять, чтобы получить 30 кг смеси?

3. Установите соответствие между вспомогательными моделями (рис. 49) и следующими задачами; используя модели, решите задачи:

а) В двух пакетах было15 яблок. Когда из одного пакета взяли 3 яблока, в нем осталось в 2 раза меньше яблок, чем в другом. Сколько яблок было в каждом пакете?

б) В трех пакетах лежит 20 яблок, причем в одном пакете их в 2 раза меньше, чем в каждом из двух других.

Сколько яблок в каждом пакете?

в) У двух мальчиков было 8 яблок. Когда один съел одно яблоко, а другой – 3 яблока, у них осталось яблок поровну. Сколько яблок было у каждого?

4. Решите следующие задачи, построив на этапе анализа вспомогательные модели; решение запишите по действиям с пояснением:

a) Мама дала трем девочкам 12 конфет и предложила разделить их так, чтобы младшая получила в 3 раза, а средняя в 2 раза больше старшей. Сколько конфет достанется каждой?

б) На двух тарелках лежало 9 яблок. Когда с одной тарелки взяли
одно яблоко, то на этой тарелке осталось яблок в 3 раза больше, чем на другой. Сколько яблок было на каждой тарелке?

в) У моего брата было в 6 раз больше орехов, чем у меня. После того как он отдал 10 орехов сестре, у нас орехов стало поровну. Сколько орехов было у меня и у брата первоначально?

г) Полсотни яблок разложили в корзину и два пакета. В корзину положили на 14 яблок больше, чем в каждый пакет. Сколько яблок в корзине и в пакете?

д) Школьник прочитал 18 страниц за три дня. Если бы он в первый день прочитал на одну страницу больше, а во второй день на 4 страницы меньше, то каждый день он читал бы поровну. По сколько страниц читал школьник каждый день?

5. Постройте вспомогательные модели и с их помощью найдите решения следующих задач:

а) На одной полке на 6 книг больше, чем на другой. Сколько книг нужно переложить с одной полки на другую, чтобы книг стало поровну?

б) Если с одной полки переложить на другую 6 книг, то на обеих полках книг будет поровну. На сколько книг на одной полке больше, чем на другой?

в) На одной полке на 6 книг больше, чем на другой. На сколько книг будет больше на одной полке, чем на другой, если с первой полки переложили на другую 10 книг?

г) На первой полке на 6 книг больше, чем на второй. На сколько книг будет на первой полке больше, если со второй полки переложить на первую 10 книг?

6. Поиск плана решения проведите по вспомогательной модели; решение запишите по действиям; выполните проверку найденного решения:

а) В двух бидонах 28 л краски. Если из одного взять 3 л, а в другой добавить 2 л, то в первом станет на 7 л краски больше, чем во втором. Сколько краски в каждом бидоне?

б) На складе в три раза больше муки, чем в магазине. Если со склада взять 850 т муки, а магазином будет продано 50 т муки, то и на складе, и в магазине муки останется поровну. Сколько муки на складе и сколько в магазине?

в) У Наташи на 15 открыток больше, чем у Сережи. Детям подарили еще по 6 открыток. У Наташи стало в 2 раза больше открыток, чем у Сережи. Сколько открыток было у каждого первоначально?

7. Решите различными арифметическими способами:

а) В двух книжных шкафах было 1536 книг. Когда из одного взяли 156 книг, а из другого в три раза больше, то книг в шкафу стало поровну. Сколько книг было в каждом шкафу первоначально?

б) Площадь земли, засеянная пшеницей, в 6 раз больше площади засеянной ячменем, а площадь, засеянная рожью, в 3 раза меньше площади, засеянной пшеницей. Сколько гектаров земли засеяно каждой культурой, если пшеницей засеяно на 480 га больше, чем рожью?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: