Структура теоремы. Виды теорем

Понятие логического следования позволяет уточнить ряд вопросов связанных с предложениями, которые в математике называют теоремами.

Теорема - это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).

С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А Þ В, где А и В - высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В - ее заключением.

Например, условием теоремы «если четырехугольник являете прямоугольником, то в нем диагонали равны» является предложение «четырехугольник - прямоугольник», а заключением - предложение «в таком четырехугольнике диагонали равны».

В рассмотренном примере теорема была сформулирована с помощью слов «если..., то...». Но, как нам известно, утверждение А => В можно сформулировать и по-другому. Например, рассмотренную теорему можно сформулировать так: «во всяком прямоугольнике диагонали равны» или «для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы его диагонали были равны». Есть и другие способы, но удобнее теорему формулировать в виде «если... то...», поскольку сразу видно ее условие (что дано) и заключение (что надо доказать).

В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами и формулами. Выясним, чем они отличаются от теоремы.

Рассмотрим, например, такую теорему из школьного курса алгебры: «если а - любое число и п, k- натуральные числа, то справедливо равенство аⁿ×а^к = а^п+k». Условие данной теоремы - это предложение «а - любое число» и «п, k - натуральные числа». Заключение - это равенство аⁿ×а^к = а^n+k, справедливость которого надо доказать, исходя из данного условия.

Для того чтобы этой теоремой было удобнее пользоваться на практике, при выполнении различных преобразований ее формулируют в виде правила: «при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются» или записывают только формулу аⁿ×а^k = а^п+k, опуская все условия, указанные в теореме. Такие упрощения позволяют быстрее запоминать правила и формулы. Эту особен­ность математического языка широко используют в начальном курсе обучения математике, но при этом формулируют различные утверждения сразу в виде правил или формул, опуская точные формулировки теорем (и, следовательно, опуская, по сути дела, условие теоремы). Но учитель, конечно, должен уметь разворачивать изучаемые в начальной школе правила (формулы) и формулировать соответствующие им теоремы. Иначе возможны ошибки как содержательного, так и логического характера. Рассмотрим, например, изучаемое в начальном курсе ма­тематики правило деления суммы на число: «для того чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое из слагаемых и полученные результаты сложить». К этой словесной формулировке правила иногда добавляют формулу: (а + b):с = а:с + b:с.

Так как этот материал изучают в начальной школе, то надо отчетливо понимать, что числа а, b и с могут быть только целыми неотрицательными, причем с¹0. Кроме того, воспользоваться правой частью этого равенства можно при условии, что а кратно с и b кратно с.

Таким образом, теорема, лежащая в основе правила деления суммы на число, может быть сформулирована следующим образом: «Если а, b и с целые неотрицательные числа (с¹0) и а кратно с и b кратно с, то разделить сумму а + b на число с можно, разделив на это число каждое из слагаемых».

Если воспользоваться символами, то условие и заключение этой теоремы можно записать так:

условие: а, b, с Î Z₀, с¹ 0; а⋮с, b⋮с

заключение: (a + b):с = а:с + b:с.

Для всякой теоремы вида «если А, то B» можно сформулировать предложение «если В, то А», которое называют обратным данному. Однако не всегда это предложение является теоремой. Рассмотрим, например, теорему: «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это высказывание ложное, в чем можно убедиться, приведя контрпример: в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником.

Рассмотрим теперь теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник - равнобедренный». Оно, как известно, истинное и поэтому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если не А, то не В», которое называют противоположным данному. Но не всегда это предложение является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны», будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».

В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противопопожной данной.

Таким образом, если для теоремы А => В сформулировать обратное или противоположное предложения, то их надо доказывать (и тогда их можно называть соответственно обратной и противоположной теоремами) или опровергать.

Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если не В, то не А», которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он (четырехугольник) не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное и, следовательно, является теоремой. Ее называют обратно противоположной данной.

Вообще для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому имеется следующая равносильность

Эту равносильность называют законом контрапозиции. Мы принимаем его без доказательства. Согласно этому закону, предложение, обратно противоположное какой-либо теореме, также является теоремой, и, значит, вместо данной теоремы можно доказывать теорему, обратно противоположную данной.

Кроме того, из закона контрапозиции следует, что предложение обратное данному, и предложение, противоположное данному, одновременно истинны либо одновременно ложны. Поэтому, рассматривая их, достаточно доказать (или опровергнуть) какое-нибудь одно; тем самым будет доказано (опровергнуто) и второе.

Заметим, что если для данной теоремы А => В существует обратная В => А, то их можно соединить в одну А <=> В, и тогда в формулировке будут использоваться слова «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда, когда». Например, соединив теоремы «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны» и «если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник - равнобедренный» в одну, получим теорему: «треугольник будет равнобедренным тогда и только тогда, когда в нем углы при основании равны».

Можно сформулировать ее иначе: «для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы в нем углы при основании были равны».

С другой стороны, если теорема имеет вид равносильности А <=> В, то это значит, что она состоит из двух взаимно обратных теорем А => В и В => А и, следовательно, ее доказательство сводится к доказательству двух указанных теорем.

Заметим также, что если условие или заключение данной теоремы представляет собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то, чтобы получить предложение, противоположное данному, нужно учитывать правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции. Например, дана теорема «если число делится на 3 и 4, то оно делится на 12» Предложение, противоположное данному, можно сформулировать так: «если число не делится на 12, то оно не делится на 3 или не делится на 4».

Упражнения

1. Выделите условие и заключение в каждой из следующих теорем:

а) Если углы смежные, то их сумма равна 180°.

б) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

в) Равенство треугольников есть достаточное условие их равновеликости.

г) Четность суммы есть необходимое условие четности каждого слагаемого.

2. Сформулируйте предложения, обратные следующим теоремам. Какие из них являются теоремами?

а) Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

б) Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

в) Если каждое слагаемое является четным числом, то и сумма четное число.

6. Сформулируйте предложения, противоположные теоремам, приведенным в упражнении 2. Какие из этих предложений - теоремы?

7. Для каждой теоремы из упражнения 2 сформулируйте теорему, равносильную ей согласно закону контрапозиции.

8. Для каждой из следующих теорем сформулируйте обратное, противоположное и обратно противоположное утверждения и установите, какие из них будут теоремами:

а) Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

б) Всякий параллелограмм с равными диагоналями есть прямоугольник или квадрат.

6. Пользуясь законом контрапозиции, докажите следующие теоремы:

а) Если p×q - нечетное число, то p и q нечетны (р, q Î N).

б) Если т- + п² ¹ 0, то т * 0 или п ¹ 0.

7. Покажите, что следующие теоремы являются конъюнкцией двух теорем:

а) На 5 делятся те и только те числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

б) Две прямые плоскости параллельны тогда и только тогда, когда они перпендикулярны одной и той же прямой.

в) Для того чтобы в прямоугольном треугольнике катет составлял половину гипотенузы, необходимо и достаточно, чтобы угол, лежащий против этого катета, был равен 30°.

8. Нижеприведенные правила взяты из учебников для начальных классов. Установите, какие теоремы сформулированы в виде этих правил:

а) Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

б) Если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получим другой множитель.

в) При делении любого числа на единицу в частном получится то число, которое делили.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: