Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение

Мы выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые можно разбить этот многоугольник. А как находить площадь произвольной фигуры? И что представляет собой число, выражающее эту площадь?

Пусть F - произвольная плоская фигура. В геометрии считают, что она имеет площадь S(F), если выполняются следующие условия: существуют многоугольные фигуры, которые содержат F (назовем их объемлющими); существуют многоугольные фигуры, которые содержатся в F (назовем их входящими); площади этих многоугольных фигур, как угодно мало отличаются от S(F). Поясним эти положения. На рисунке 183 показано, что фигура Q содержит фигуру F, т.е. Q - объемлющая фигура, а фигура Р содержится в F, т.е. Р - входящая фигура. На теоретико-множествен­ном языке это означает, что Р Ì F Ì Q и, следовательно, можно записать, что S(Р) £ S(F) £ S(Q).

Если разность площадей объемлющей и входящей фигур может стать как угодно малой, то, как установлено в математике, существует единственное число S(F), удовлетворяющее неравенству S(Р) £ S(F) £ S(Q) для любых многоугольных фигур Р и Q. Данное число и считают площадью фигуры F.

Этими теоретическими положениями пользуются, например, когда выводят формулу площади круга. Для этого в круг F радиуса r вписывают правильный n -угольник Р, а около окружности описывают правильный n-угольник Q. Если обозначить символами S(P) и S(Р) площади этих многоугольников, то будем иметь, что S(Р) £ S(F) £ S(Q), причем при возрастании числа сторон вписанных и описанных много­угольников площади S(Р) будут увеличиваться, оставаясь при этом меньше площади круга, а площади S(Q) будут уменьшаться, но оставаться больше площади круга.

Площадь правильного n -угольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности. При возрастании числа его сторон периметр стремится к длине окружности 2 r, а площадь - к площади круга. Поэтому S _кр = × 2 r×r= r².

Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы, в частности, палетку.

Палетка - это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.

Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Р; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Q (рис. 184). Площади S(Р) и S(Q) находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры F принимается среднее арифметическое найденных площадей:

S (F) = .

В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.

Нетрудно обосновать эти действия. Пусть т - число квадратов, которые поместились внутри фигуры F, а п- число квадратов, через которые проходит контур фигуры F. Тогда S(Р) = т, а S(Q) = т + п.

И значит, S(F) = = = m+

Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять палетку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: наложить одну и ту же палетку на фигуру по-разному и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметическое может быть лучшим приближением к численному значению площади фигуры F.

Упражнения

1.На фигуру F наложили палетку и подсчитали, что внутри фигуры F содержится фигура, составленная из 28 единичных квадратов, а фигура F содержится внутри фигуры, состоящей из 35 единичных квадратов. Каково приближенное значение площади фигуры F?

2.Начертите круг радиуса 2 см на клетчатой бумаге и найдите его площадь, используя клетчатую бумагу как палетку, состоящую из квадратов со стороной, равной:

а) 1 см; б) 0,5 см.

Вычислите площадь этого круга по формуле, приняв = 3,14. Сравните полученные результаты.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: