Производная и ее приложения.

6.2.31–6.2.40. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

6.2.31. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.32. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.33. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.34. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.35. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.36. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.37. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.38. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.39. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.40. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.3.11–6.3.20. Задана функция у=f (х). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

6.3.11.

6.3.12.

6.3.13.

6.3.14.

6.3.15.

6.3.16.

6.3.17.

6.3.18.

6.3.19.

6.3.20.

7.1.1–7.1.10. Найти производные данных функций.

7.1.2.

в)

7.1.3. а) б ) y = arcctg [exp(5 x)];

в) x = sin²3t, y = cos²3t.

7.1.4.

в) x = t⁴ + 2t, y = t² + 5t.

7.1.5.

в) x = t – ln sint, y = t + ln cost.

7.1.6. a) б) y = exp(cos3x).

в) x = tg t,

7.1.7. a) б) y = 3x exp(-x^-2);

в) x = t² – t³, y = 2t³.

7.1.8. a) y = ln cos2x – ln sin2x; б)

в) x = cos³t, y = sin³t.

7.1.9. a) б)

в) x = 3sint, y = 3cos²t.

7.1.10.

в) x = 2t – t², y = 2t³.

7.2.51–7.2.60. Подобрать соответствующую функцию и найти ее экстремум.

7.2.51.Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?

7.2.52.Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

7.2.53.Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2 a и 2 b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

7.2.54.Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R?

7.2.55.Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R?

7.2.56.При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

7.2.57.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

7.2.58.В точках A и B, расстояние между которыми равно a, находятся источники света соответственно с силами F ₁ и F ₂. На отрезке AB найти наименее освещенную точку M ₀.

Замечание. Освещенность точки источником света силой F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света: .

7.2.59.Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка наибольшее сопротивление на изгиб?

Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины x ее поперечного сечения на квадрат его высоты y: .

7.2.60.Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна p ₁ руб., а стенок – p ₂ руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

7.3.21–7.3.30. Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f (x) для и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [ a; b ].

7.3.21. а) б) [–3; 3].

7.3.22. а) б) [–1; 1].

7.3.23. а) б) [–2; 2 ].

7.3.24. а) б) [–2; 2].

7.3.25. а) б) [ 1; 4].

7.3.26. а) б) [ 0; 1].

7.3.27. а) б) [ 1; 9].

7.3.28. а) б) [–1; 1].

7.3.29. а) б) [–2; 2].

7.3.30. а) б) [–2; 2].

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: