Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Производные правила




Сформулированные выше основные правила системы N не исчерпывают всех способов рассуждений, осуществимых средствами логики высказываний. Но, как мы убедимся окончательно в дальнейшем, все остальные правила в этой области логически можно свести к этим основным. Для этого нам понадобится точное понятие производного правила. Но прежде мы введем следующее понятие равнообъемности логических систем. Две логические системы называются равнообъемными, если любая формула, доказуемая в одной из них, доказуема и в другой, и обратно. Таким образом, равнообъемные системы определяют один и тот же класс теорем (доказуемых формул). Равнообъемные системы иначе называют эквивалентными, или эквиполентными.

Определение производного правила. Правило называется производным в логической системе, если добавление к ней данного правила дает равнообъемную ей систему. Другими словами, применение производных правил не увеличивает класса формул, доказуемых в соответствующей логической системе. Нетрудно понять, что обоснование производных правил должно состоять в предъявлении эффективного метода, пользуясь которым любое доказательство некоторой формулы, содержащее применение производных правил, можно преобразовать в доказательство той же формулы, построенное с помощью лишь основных правил.

Таким образом, при построении доказательств теоретически можно обойтись без производных правил. Но отказ от их применения рано или поздно приведет к тому, что поиск доказательств станет не осуществимым с практически приемлемой затратой времени, сил и средств, когда нам придется иметь дело с труднообозримыми логическими конструкциями. Эти трудности, однако, можно преодолеть, если пользоваться производными правилами, так как в них аккумулируется прошлый логический опыт. Вследствие этого в ходе поиска доказательств производные правила позволяют в сокращенной форме проводить анализ исходных данных на бόльшую (по сравнению с основными правилами) глубину и существенно упрощают синтез искомых доказательств.

Производными могут быть как правила следования, так и правила построения доказательства.

Нетрудно видеть, что правило [II. 1] построения прямого доказательства, хотя и принимается в системе N в качестве основного, фактически производно относительно правила [II.2] построения косвенного доказательства. В самом деле, любое прямое доказательство можно тривиально перестроить в косвенное доказательство той же формулы. С этой целью достаточно в прямое доказательство вписать отрицание его конечной формулы. Таким образом, правило [II. 1] можно было бы вычеркнуть из списка основных правил, но это не является желательным, если мы заинтересованы в получении формальных моделей, отображающих структуру обычных логических рассуждений. В дальнейшем мы еще вернемся к этому вопросу.

Для того чтобы установить, что правило следования, представленное фигурой

 

A 1, A 2,..., А n, (*)
С  

 

производно, достаточно найти доказательство формулы вида

A 1 ® (A 2 ® ... (Аn ® С)...) (**)

т. е. кратной импликации, антецедентами которой служат посылки, а консеквентом служит заключение фигуры (*).

В самом деле, если в каком-либо доказательстве (некоторой формулы) применяется производное правило (*), то в данном доказательстве, скажем, k -я строка содержит формулу С, полученную по правилу (*) из написанных в предшествующих строках (не обязательно в таком порядке) формул A 1, A 2,..., Аn.

Нетрудно видеть, что если мы построим доказательство формулы (**), то, стерев в предшествующем доказательстве стоящую в k- й строке формулу С и вставив («втиснув») в образовавшийся пробел следующую колонку формул:

k A 1 ® (A 2 ® (А з ®... (Аn ® С)...)),
k+ 1 A 1 ® (A 2 ®... (Аn ® С)...),

.

.

.

k+n -1 An ® С,
k+n С,

мы получим новое доказательство той же формулы. Понятно, что в этом новом доказательстве формула в (k +1)-й строке следует по правилу МП из формулы (**) в k -й строке и формулы A 1, написанной где-то выше; в свою очередь формула в (k +2)-й строке следует по правилу МП из формулы в (k +1)-й строке и формулы A 2, стоящей также где-то выше k -й строки и так до (k + n)-й строки, где появляется формула С (стертая в прежнем доказательстве).

В дальнейшем, правило следования (*) мы называем производным относительно формулы (**), если установлено, что данная формула есть логическая теорема.

Покажем, что формула следующего вида, называемая законом условного силлогизма, является теоремой (в системе N), обозначаемой в дальнейшем Т.

Т1. (А ® В) ® ((В ® С) ® (А ® С)).

Доказательство.

1) А ® В допущ.;
2) В ® С допущ.;
3) А допущ.;
4) В МП (1, 3);
  С МП (2, 4).

Строго говоря, выше было приведено не доказательство, а схема доказательства, по которой можно построить любое доказательство формулы вида Т1, заменяя надлежащим образом метапеременные А, В, С конкретными формулами. В дальнейшем, мы также вместо «схема доказательства» пишем «доказательство», когда возможные недоразумения исключаются контекстом.

Относительно Т1 производно правило (условного) силлогизма

 

Сил. А ® ВВ ® С.
  А ® С

 

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться, что производно следующее обобщение правила МП — «обобщенный модус поненс»:

 

МП¢ A 1, A 2,..., Аn ,; A 1 ® (A 2 ®... ( Аn ® С )...). (*)
  С  

 

Данным правилом мы будем широко пользоваться в дальнейшем.

Очевидно, что в обосновании производных правил можно использовать ранее установленные производные правила. Так, с помощью правила МП' можно легко получить следующее обобщенное правило силлогизма:

 

Сил.¢ A 1 ® ( A 2 ® (А n ® В )...) В ® С.
  A 1 ® (A 2 ®... (Аn ® С)...)

 

Упражнения

I. Для каждого из следующих элементарных выводов укажите правило (правила) вывода, при помощи которых заключение следует из посылок:

1) ((А ® (В Ù С)) Ù (D ® (B Ù E)) Ù (A Ú D)) ® ((B Ù C) Ú (B Ù E));

2) (((F «G) ® ~ (G Ù ~ F)) Ù (~ (G Ù ~ F) ® (G ® F))) ® ((F «G) ® (G ® F));

3) ((~ (H Ù ~ I) ® (H ® I)) Ù ((I «H) ® ~ (H Ù ~ I))) ® ((I «H) ® (H ® I));

4) ((((H Ù ~ I) ® C) Ù ((I Ù ~ H) ® D)) Ù ((H Ù ~ I) Ú (I Ù ~ H))) ® (C Ú D);

5) ((((O ® P) ® Q) ® ~ (C Ú D)) Ù(C Ú D) ® ((O ® P) ® Q)) ® (C Ú D) ® ~(C Ú D).

II. Каждая из нижеследующих групп формул является доказательством. Укажите для каждой строки использованные правила вывода с указанием строк, к которым они были применены, или ранее доказанные формулы:

II.1) (I ® J) ® (J ® K) ® (L ® M) ® (I Ú L) ® (K Ú M)

1) I ® J;

2) J ® K;

3) L ® M;

4) I Ú L;

5) I ® K;

6) (I ® K) Ù (L ® M);

7) K Ú M.

II.2) ((Q ® R) ® (~ S ® (T ® U)) ® (S Ú (Q Ú T)) ® ~ S) ® (R Ú U)

1) T ® U;

2) (Q ® R) Ù (T ® U);

3) Q Ú T;

4) R Ú U;

II.3) ((W ® X) ® ((W ® Y) ® (Z Ú X)) ® ((W Ù X) ® Y) ® ~ Z)) ® X

1) W ® X;

2) (W ® Y) ® (Z Ú X);

3) (W Ù X) ® Y;

4) ~ Z;

5) W ® (W ® X);

6) W ® Y;

7) Z Ú X;

8) X.

III. Запишите условие задачи с помощью символов и постройте доказательство получившейся формулы:

1. Если я заплачу портному, у меня больше не останется денег. Но я могу пригласить свою девушку потанцевать, только если у меня есть деньги. Она будет недовольна, если я не поведу ее потанцевать. Но если я не заплачу портному, он не отдаст мне костюм, а без костюма я не смогу пригласить мою девушку потанцевать. Получается, я должен либо заплатить портному, либо не платить ему. Значит, моей девушке суждено быть недовольной.

2. Если человек наделен свободной волей, значит, его поступки не зависят от предшествующих им событий. Если человек наделен свободной волей, значит, его поступки не зависят от предшествующих им событий, следовательно, ни один из его поступков нельзя предвидеть. Если поступки человека не зависят от предшествующих событий, то ни один из поступков человека предвидеть нельзя, значит, нельзя предвидеть и последствия поступков человека. Следовательно, если человек наделен свободной волей, то последствия его поступков предвидеть невозможно.

3. Несмотря на рост населения на планете, сельскохозяйственное производство сокращается, но объем произведенной продукции существенно не меняется. Если сельскохозяйственное производство сокращается и население на планете растет, то либо будут открыты новые продовольственные ресурсы, либо произойдет кардинальное перераспределение продовольственных ресурсов на планете, если не уменьшится потребность человека в пище. Открытия новых продовольственных ресурсов не произойдет, как не будет достигнуто удовлетворительных результатов в пропаганде планирования семьи и не уменьшится потребность человека в пище. Следовательно, произойдет кардинальное перераспределение продовольственных ресурсов на планете.






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных