ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Слабое косвенное доказательствоЗдесь мы расширим исчисление положительной логики добавлением правилa [II.2]min построения слабого косвенного доказательства. Слабое косвенное доказательство формулы A 1 ® (A 2 ® ... (Аn ® С 1 )…) (*) строится согласно следующему предписанию. На любом шаге построения можно написать: 1) одну из формул A 1, A 2,..., Аn в качестве допущения; 1а) формулу С ¢, полученную из С стиранием первого слева знака отрицания[11], в качестве допущения слабого косвенного доказательства. 2) формулу, следующую из ранее написанных формул, по одному из правил логического следования. 3) ранее доказанную формулу. Слабое косвенное доказательство формулы (*) считаете» построенным, если в соответствии с пп. 1 —3, включая и п. 1а, получена последовательность формул, содержащая формулу С ¢, пару противоречащих формул и оканчивающаяся одной из формул данной пары. Слабое косвенное доказательство — это частный случай косвенного доказательства, характеризующийся следующими ограничительными условиями: 1) если при построении косвенного доказательства мы согласно п. 1а могли вводить формулу, получаемую из консеквента его тезиса как стиранием, так и приписыванием слева знака отрицания, то в слабом косвенном доказательстве мы располагаем только первой возможностью (стиранием знака отрицания); 2) если для окончания косвенного доказательства требуется получение последовательности формул, содержащей пару противоречащих формул, и не требуется, чтобы в эту последовательность входило специальное допущение косвенного доказательства, то одним из непременных условий окончания слабого косвенного доказательства является наличие допущения слабого косвенного доказательства. Так, в примере на с. 73 лишь (III) является слабым косвенным доказательством. Таким образом, введенная нами логическая система имеет следующие правила: правила [I] логического следования, правило [II. 1] построения прямого доказательства, правило [II.2]min построения слабого косвенного доказательства, и представляет собой[12] одно из логических исчислений так называемой минимальной логики. Если в полной системе N, вообще говоря, можно было бы обойтись без правила [II. 1] построения прямого доказательства, то в описанной логической системе минимальной логики правило [II. 2] не делает избыточным применение [II. 1] потому, что ни одна кратная импликация, консеквент которой не начинается со знака отрицания, не может быть доказана с помощью правила [II.2]min. Рассмотрим некоторые теоремы и производные правила, которые можно установить в минимальной логике. Т13. (А ® В) ® ((А ® ~ В) ® ~ А). Доказательство. 1) А ® В допущ.; 2) А ~ В допущ.; 3) А допущ. слаб. косв. док.; 4) В МП (3, 1); 5) ~ В МП (3, 2); Пртврч.: 4, 5. Относительно Т13 производно правило введения отрицания
Т14. А ® ~~ А — обратный закон двойного отрицания. Заметим, что (прямой) закон двойного отрицания— ~~ А ® А нельзя доказать ни в минимальной, ни в конструктивной логике (система конструктивной логики рассматривается в § 5 данной главы). Т15. ~~~ А ® ~А. Т16. ~ (А Ù ~ А) — закон противоречия. Доказательство. 1) А Ù ~ А допущ. слаб. косв. док.; 2) А УК (1); 3) ~ А УК (1); Пртврч.: 2, 3. Обращаем внимание на то, что это — косвенное доказательство нулькратной импликации и поэтому в него не вводится других допущений, кроме специального допущения косвенного доказательства. Т17. (А ® В) ® (~ В ® ~ А). Т18. (А ® ~ В) ® (В ® ~ А). Относительно Т17, Т18 производно правило модус толленс, имеющее две схемы:
Согласно правилу МТ из импликации и формулы, противоречащей ее консеквенту, следует отрицание ее антецедента. Т19. ~(А Ù В)® (А ® ~ В). Т20. ~(А Ù В)® (В ® ~ А). Относительно Т19, Т20 производно правило, имеющее две схемы. Его мы будем называть удалением отрицания конъюнкции:
Т21. ~ А ® ~(А Ù В). Т22. ~ В ® ~(А Ù В). Относительно Т21, Т22 производно правило, которое можно назвать введением отрицания конъюнкции:
Т23. (~ А Ú~ B) ® ~(А Ù В). Т24. (А ® B) ® ((A ® C) ® ((~ B Ú ~ C) ® ~ А)). Относительно Т24 производно правило простой деструктивной дилеммы Дил3 А ® B A ® C ~ B Ú ~ C. ~ А Данное правило позволяет из двух импликаций с одинаковым антецедентом и из дизъюнкции отрицаний их консеквентов вывести отрицание антецедента этих импликаций. Т25. (A ® C) ® ((B ® D) ® ((~ C Ú ~ D) ® (~ A Ú ~ B))). Относительно Т25 производно правило сложной деструктивной дилеммы Дил4. A ® CB ® D ~ C Ú ~ D, ~ A Ú ~ B которое означает, что из двух импликаций и дизъюнкции отрицаний их консеквентов следует дизъюнкция отрицаний их антецедентов. Т26. ~ А ® (А ® ~ В). Т27. ~ А ® (~ В ® ~(А Ú В)). Относительно Т27 производно правило введения отрицания дизъюнкции
Т28. ~(А Ú В)® ~А. Т29. ~(А Ú В)® ~В. Т30. ~(А Ú В)® (~ А Ù ~В). Относительно Т28, Т29 производно правило, которое можно назвать правилом удаления отрицания дизъюнкции:
Т31. ~~(А Ú В)—двойное отрицание закона исключенного третьего. Сам же закон исключенного третьего недоказуем в минимальной логике. Т32. ~(А Ú В)«(~ А Ù ~В). Доказательство. Часть 1. ~(А Ú В)® (~ А Ù ~В) р. д. ф., Т30. Часть 2. (~ A Ù ~ B) ® ~ (A Ú B). 1) ~ A Ù ~ B допущ.; 2) ~ А УК (1); 3) ~ В ~ (А Ú В) ВОД (2, 3). Т33. (А Ù ~В) ® ~(А ® В). На этом мы заканчиваем обзор теорем и производных правил минимальной логики.
Упражнения. I. Каждая из нижеследующих групп формул является доказательством. Укажите для каждой строки использованные правила вывода с указанием строк, к которым они были применены. I.1. ((N ® O) ® ((N Ù O) ® P) ® ~(N Ù P)) ® ~ N. 1) N ® O; 2) (N Ù O) ® P; 3) ~(N Ù P); 4) N; 5) O; 6) N Ù O; 7) P; 8) N Ù P. I.2. ((F ® ~ G) ® (~ F ® (H ® ~ G)) ® ((~ I Ú ~ H) ® ~~ G) ® ~ I) ® ~ H. 1) F ® ~ G; 2) ~ F ® (H ® ~ G); 3) (~ I Ú ~ H) ® ~~ G; 4) ~ I; 5) H; 6) ~ I Ú ~ H; 7) ~~ G; 8) ~ F; 9) H ® ~ G; 10) ~ G; 11) ~ (~ I Ú ~ H). I.3. (I ® J) ® (I Ú (~~ K Ù ~~ J)) ® (L ® ~ K) ® ~ (I Ù J) ® ~ (L Ù J). 1) I ® J; 2) I Ú (~~ K Ù ~~ J); 3) L ® ~ K; 4) ~(I Ù J); 5) L Ù J; 6) L; 7) J; 8) ~ K; 9) ~ I; 10) ~~ K Ù ~~ J; 11) ~~ K. II. Докажите формулу, используя правило построения слабого косвенного доказательства: 1) (S ® T) ® (~ T Ù ~ U) ® ~ S; 2) ~ (K Ù L) ® (K ® L) ® ~ K; 3) ((K ® L) ® M) ® ((~ M Ù ~ (L ® K) ® ~ (K ® L); 4) ((W Ù X) ® (Y Ù Z)) ® ~ ((W Ù X) Ù (Y Ù Z)) ® ~ (W Ù X); 5) ((Q ® R) ® (R ® S) ® ~ S) ® (~ Q Ù ~ R); 6) ((T ® U) ® (V Ú ~ U) ® (~ V Ù ~ W)) ® ~ T; 7) (((~ M Ù ~ N) ® (O ® N)) ® (N ® M) ® ~ M)) ® ~ O.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|