Метод последовательных приближений

Методы уточнения корней

Методы отделения корней весьма удобны и просты. Однако они дают ответ только на вопрос локализации корня и позволяют найти его грубое приближенное значение. Если же требуется найти более точное значение корня, то используют различные методы уточнения.

Метод половинного деления

Входная информация: отрезок [a;b] с корнем непрерывной функции f(x) внутри и точность определения корня ε.

Исходный отрезок делится пополам точкой x_ср =(a+b)/2 и если f(x_ср)=0, то x – корень уравнения. Если f(x_ср)≠0, то из двух получившихся отрезков [a;x_ср] и [x_ср;b] выбирается тот, на концах которого функция имеет противоположные знаки. Пример, если f(a)*f(x_ср)<0, то выбирается [a;x_ср]; если нет, то [x_ср;b]. Продолжаем процедуру деления до тех пор, пока |a-b|< ε.

Блок-схема

Delphi

Пакет Excel

Пакет MathCAD

Метод последовательных приближений

Введем в рассмотрение произвольный параметр λ>0. Тогда функцию φ(x) можно представить как φ(x)=x- λ*f(x). Затем, варьируя параметр λ, добиваемся условия сходимости: | φ’(x)|<1 на [a;b]. φ’(x)=1-λ*f’(x). Для выполнения сходимости λ=1/(max|f(x)|) на [a;b].

Для рассматриваемого примера:

max|f(x)| на [a;b]=max|d(f(x))/dx|=4 (при x=1) и λ=1/4.

Расчетная формула метода итерации примет вид:

x_i+1=x_i-(1/4)*(tg(x_i/2)-ctg(x_i/2)+x_i)

Блок-схема

Delphi

Пакет Excel

Пакет MathCAD

Метод Ньютона

Этот метод можно рассматривать как частный случай метода простой итерации с рекуррентной формулой x_i+1=x_i-f(x_i)/f’(x_i) и тем же принципом выбора начального приближения x₀.

Для рассматриваемого нами примера f(x)=tg(x)-ctg(x)+x первая производная равна:

Итерационная формула примет вид:

x_i+1=x_i-f(x_i)/f’(x_i)

Процесс итерации идет до тех пор, пока |f(x_i+1)|< ε.

Блок-схема

Delphi

Пакет Excel

Пакет MathCAD

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: