Выписать все его подмножества.

2. Выписать все элементы множества , где

Решение.

1 Подмножества множества могут содержать от нуля до четырёх элементов (включая пустое множество и множество ). Будем выписывать подмножества в порядке возрастания количества элементов, последовательно добавляя по одному элементу. Учтём, что пустое множество является подмножеством любого множества, кроме того, само множество также является подмножеством самого себя.

Имеем:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

2 Будем искать множество , выполняя операции последовательно.

1) Множество состоит из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству . Имеем: ;

2) Множество состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или . Имеем:

.

3) Множество состоит из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству .

Таким образом, .

2. Доказать методом включений тождество:

.

Решение.

Необходимо доказать выполнение включений:

и .

1. Выберем произвольный элемент множества . По определению операции объединения множеств или .

Если , то по определению операции пересечения множеств и .

Так как , то ; так как , то , следовательно, .

Если , то и , и, таким образом, .

Поскольку элемент множества был выбран произвольно, можно утверждать, что любой элемент этого множества содержится в , то есть .

2. Выберем произвольный элемент множества

.

По определению операции пересечения множеств и .

Так как , то или ; так как , то или . Таким образом, или и .

Если и , то , а, следовательно, ; если , то также имеем .

Поскольку элемент множества был выбран произвольно, можно утверждать, что любой элемент этого множества содержится в , то есть .

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что .

Доказано.

2. «Отображения множеств».