IV. Решение некоторых типовых заданий.

1. Задано отображение f: R, .

a. Определить, является ли отображение инъективным.

b. Определить, является ли отображение сюръективным.

c. Определить, является ли отображение биективным.

d. Найти образ отрезка .

e. Найти прообраз отрезка .

Решение.

а) Пусть , тогда ; и по свойству логарифмической функции , следовательно, отображение инъективно;

b) По свойствам логарифмической функции для любого значения существует , здесь , таким образом, отображение сюръективно.

c) Так как отображение инъективно и сюръективно, то оно является биективным.

d) В силу инъективности отображения достаточно найти образы концов заданного отрезка:

; .

Итак, образом отрезка в отображении является .

e) В силу инъективности отображения достаточно найти прообразы концов заданного отрезка:

;

.

Итак, прообразом отрезка является , .

2. Задано отображение f: R R,

a) Определить, является ли отображение инъективным.

b) Определить, является ли отображение сюръективным.

c) Определить, является ли отображение биективным.

d) Найти образ отрезка .

e) Найти прообраз отрезка

Решение.

a) Для определения инъективности исследуем функцию на монотонность. Вычислим производную функции : . Производная определена и непрерывна при и обращается в нуль при . При и при производная положительна, а, следовательно, функция возрастает. При производная отрицательна, а, следовательно, функция убывает. График функции меняет направление с возрастания на убывание и обратно, а, следовательно, найдутся два значения и такие, что , а (например,

).

Таким образом, отображение неинъективно.

b) График функции меняет направление с возрастания на убывание и обратно, и, учитывая, что , можно утверждать что для любого найдётся соответствующее значение . Таким образом, отображение сюръективно.

c) Так как отображение неинъективно, то оно не является биективным.

d) На отрезке только одна точка экстремума графика функции . Это точка минимума. Поэтому в этой точке отображение примет наименьшее значение. Для нахождения наибольшего значения подставим значения концов отрезка в правило вычисления отображения:

;

;

.

Образы элементов отрезка расположатся между наименьшим и наибольшим значениями, поэтому образом отрезка является отрезок (то есть ).

e) Для нахождения прообраза отрезка воспользуемся результатами, полученными в предыдущих пунктах. , если , причём функция принимает неотрицательные значения при и при . Значение 2 функция принимает при , причём на отрезке отображение инъективно. Итак, прообразом отрезка является множество чисел то есть .

Примечание.

Данную задачу можно решить, построив график отображения .

3. «Декартово произведение множеств».