Высшая математика: контрольные задания для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей. Часть 1 / Ю.В. Гуменникова, Л.В. Кайдалова, О.Е. Лаврусь. – Самара: СамГУПС, 2009. – 32 с.

Утверждены на заседании кафедры протокол № 9 от 11.06.09.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике для технических специальностей и охватывают разделы линейная алгебра, аналитическая геометрия, комплексные числа, введение в математический анализ, численные методы решения нелинейных уравнений.

В методических указаниях приведены индивидуальные задания, а также примеры решения задач.

Предназначены для студентов первого курса инженерно-технических специальностей заочной формы обучения.

Ил. 6. Табл. 5. Библиогр.: 9 назв.

Составители: Ю.В. Гуменникова, к. т. н., доцент,

Л.В. Кайдалова, к. ф.-м. н., доцент,

О.Е. Лаврусь, к. т. н., доцент

Рецензенты: к. ф.-м. н., доц. СамГУ Воскресенская Л.А.,

доцентСамГУПС Паняев В.А.

Ó Гуменникова Ю.В., Кайдалова Л.В., Лаврусь О.Е., 2009

Ó Самарский государственный университет путей сообщения, 2009

Задания для контрольной работы №1

Задание № 1

Решить систему линейных уравнений

методом Крамера и матричным методом. Сделать проверку.

Коэффициенты системы приведены в таблице 1.

Таблица 1

№ варианта

Коэффициенты системы линейных уравнений

а ₁₁

а ₁₂

а ₁₃

а ₂₁

а ₂₂

а ₂₃

а ₃₁

а ₃₂

а ₃₃

b ₁

b ₂

b ₃

1.1.

–1

–5

–3

–1

–17

1.2.

–1

–6

–2

–1

1.3.

–1

–3

–5

–8

1.4.

–1

1.5.

–3

–1

1.6.

–4

1.7.

–1

–2

–1

1.8.

–1

–3

–5

–7

–4

1.9.

–9

–5

–7

1.10.

1.11.

–2

–4

–2

–5

–7

1.12.

–3

–2

–7

1.13.

–1

1.14.

–1

–2

–5

1.15.

–1

–3

1.16.

–1

–6

–4

–1

–2

–3

1.17.

–4

–2

–3

–9

1.18.

–5

–1

–3

1.19.

–1

1.20.

–1

–2

–1

1.21.

–1

–10

–5

–7

–6

–2

–8

1.22.

–1

–3

–1

–2

–1

–5

1.23.

–1

–3

–7

–3

–5

–9

1.24.

–1

–5

–1

–2

1.25.

–1

–3

–4

1.26.

–2

–3

–1

–9

–22

1.27.

–4

1.28.

1.29.

–1

–3

1.30.

Задание № 2

Решить систему линейных уравнений АХ = В, заданной расширенной матрицей, методом последовательного исключения неизвестных. В случае неопределенности системы найти ее общее, базисное и любое частное решения. Сделать проверку.

2.1. . 2.2. .

2.3. . 2.4. .

2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. .

2.9. . 2.10. .

2.11. . 2.12. .

2.13. . 2.14. .

2.15. . 2.16. .

2.17. . 2.18. .

2.19. . 2.20. .

2.21. . 2.22. .

2.23. . 2.24. .

2.25. . 2.26. .

2.27. . 2.28. .

2.29. . 2.30. .

Задание № 3

По трем заданным точкам построить треугольник и средствами векторной алгебры найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) длину высоты, проведенной из точки А; 5) площадь треугольника АВС; 6) угол между сторонами ВА и ВС; 7) координаты точки N – середины стороны АС; 8) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2: 3, считая от точки А.

Координаты вершин треугольника даны в таблице 2.

Таблица 2

№ варианта	А	В	С	№ варианта	А	В	С
3.1.	(–2, 5)	(4, 5)	(1, 1)	3.16.	(6, 9)	(5, –4)	(4, 6)
3.2.	(–3, 1)	(4, –5)	(7, 2)	3.17.	(2, 3)	(4, 0)	(5, 3)
3.3.	(4, –1)	(4, 4)	(6, 4)	3.18.	(8, 7)	(3, 0)	(5, 6)
3.4.	(–5, 3)	(4, 6)	(8, 4)	3.19.	(8, 1)	(3, 0)	(3, 5)
3.5.	(0, –6)	(3, 5)	(–2, 4)	3.20.	(1, 3)	(7, 10)	(3, 2)
3.6.	(–2, –3)	(1, 6)	(5, 2)	3.21.	(4, 0)	(6, 9)	(–2, 1)
3.7.	(–6, 2)	(1, 8)	(4, 5)	3.22.	(–2, 1)	(–2, 5)	(4, 0)
3.8.	(1, 5)	(6, 5)	(5, 7)	3.23.	(–2, 1)	(–3, 1)	(4, 10)
3.9.	(5, –2)	(7, 2)	(5, 5)	3.24.	(1, –2)	(4, –1)	(6, 9)
3.10.	(5, –2)	(8, 4)	(6, 5)	3.25.	(3, 1)	(3, 2)	(1, 2)
3.11.	(9, 6)	(2, 3)	(4, 0)	3.26.	(–1, –1)	(0, 4)	(1, –1)
3.12.	(7, 5)	(4, 0)	(1, 2)	3.27.	(1, –1)	(–2, –3)	(4, 5)
3.13.	(4, 7)	(–3, 2)	(3, –2)	3.28.	(–2, 0)	(–1, 2)	(3, 4)
3.14.	(7, 3)	(0, 6)	(6, 8)	3.29.	(3, 2)	(1, 2,)	(6, 6)
3.15.	(4, 9)	(2, 4)	(5, 7)	3.30.	(0, 4)	(–2, –4)	(6, 6)

Задание № 4

По четырем заданным точкам построить пирамиду и средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра А ₁ А ₂; 2) угол между ребрами А ₁ А ₂ и А ₁ А ₄; 3) площадь грани А ₁ А ₂ А ₃; 4) объем пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄; 5) составить уравнение прямой А ₁ А ₂; 6) уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃.

Координаты вершин пирамиды даны в таблице 3.

Таблица 3

№ варианта	А ₁	А ₂	А ₃	А ₄
4.1.	(1, 1, 1)	(–1, 2, 4)	(2, 0, 6)	(–2, 5, –1)
4.2.	(0, 5, 0)	(2, 3, –4)	(0, 0, –6)	(–3, 1, –1)
4.3.	(0, 0, 6)	(4, 0, –4)	(1, 3, –1)	(4, –1, –3)
4.4.	(2, –5, 3)	(3, 2, –5)	(5, 3, 2)	(–5, 3, 2)
4.5.	(6, 0, 4)	(0, 6, 4)	(4, 6, 0)	(0, –6, 4)
4.6.	(3, 2, 4)	(2, 4, 3)	(4, 3, –2)	(–2, –4,–3)
4.7.	(6, 3, 5)	(5, –4, 3)	(3, 5, 6)	(–6, –1, 2)
4.8.	(5, –2, –1)	(4, 0, 0)	(2, 5, 1)	(1, 2, 5)
4.9.	(4, 2, 5)	(3, 0, 4)	(0, 0, 3)	(5, –2, –4)
4.10.	(4, 2, –5)	(3, 0, 4)	(0, 2, 3)	(5, –2, –4)
4.11.	(4, 4, 10)	(7, 10, 2)	(2, 8, 4)	(9, 6, 9)
4.12.	(4, 6, 5)	(6, 9, 4)	(2, 10, 10)	(7, 5, 9)
4.13.	(3, 5, 4)	(8, 7, 4)	(5, 10, 4)	(4, 7, 8)
4.14.	(10, 6, 6)	(–2, 8, 4)	(6, 8, 9)	(7, 10, 3)
4.15.	(1, 8, 2)	(5, 2, 6)	(5, 7, 4)	(4, 10, 9)
4.16.	(6, 6, 5)	(4, 9, 5)	(4, 6, 11)	(6, 9, 3)
4.17.	(7, 2, 2)	(5, 7, 7)	(5, 3, 1)	(2, 3, 7)
4.18.	(8, 6, 4)	(10, 5, 5)	(5, 6, 8)	(8, 10, 7)
4.19.	(7, 7, 3)	(6, 5, 8)	(3, 5, 8)	(8, 4, 1)
4.20.	(–2, 1, 2)	(4, 0, 0)	(3, 2, 7)	(1, 3, 2)
4.21.	(3, 2, 7)	(1, 3, 2)	(–2, 1, 2)	(4, 0, 0)
4.22.	(1, 3, 2)	(3, 2, 7)	(4, 0, 0)	(–2, 1, 2)
4.23.	(3, 1, –2)	(1, –2, 1)	(2, 2, 5)	(–2, 1, 0)
4.24.	(–2, 1, 0)	(2, 2, 5)	(3, 1, 2)	(1, –2, 1)
4.25.	(2, 2, 5)	(–2, 1, 0)	(1, –2, 1)	(3, 1, 2)
4.26.	(1, –1, 6)	(4, 5, –2)	(–1, 3, 0)	(1, –1, 5)
4.27.	(6, 1, 5)	(–1, 3, 0)	(4, 5, –2)	(1, –1, 6)
4.28.	(1, –2, 1)	(3, 1, –2)	(2, 2, 5)	(–2, 1, 0)
4.29.	(4, 0, 0)	(–2, 1, 2)	(1, 3, 2)	(3, 2, 7)
4.30.	(–5, 6, –1)	(6, –5, 2)	(6, 5, 1)	(0, 0, 2)

Задание № 5

Даны уравнения линии r = r (j) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от j = 0 до j = 2p с шагом, равным p / 8; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.

5.1. .	5.2. .	5.3. .
5.4. .	5.5. .	5.6. .
5.7. .	5.8. .	5.9. .
5.10. .	5.11. .	5.12. .
5.13. .	5.14. .	5.15. .
5.16. .	5.17. .	5.18. .
5.19. .	5.20. .	5.21. .
5.22. .	5.23. .	5.24. .
5.25. .	5.26.	5.27. .
5.28.	5.29. .	5.30. .

Решение типового варианта КР № 1

2Задание 1. Решить СЛУ методом Крамера и матричным методом. Сделать проверку найденного решения.

Решение. Метод Крамера. Составим и вычислим определитель системы D и вспомогательные определители (полученные из D заменой столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов) разложением по элементам первой строки

;

; ; ;

тогда

Сделаем проверку

Þ Х = (4, 2, 1).

Матричный метод. Обозначим

, .

Найдем

1) определитель

Следовательно, матрица невырожденная и существует .

2) транспонированную матрицу .

3) союзную матрицу .

4) обратную матрицу .

Находим решение системы X = А ^–1 В:

Ответ: Х = (4, 2, 1). v

2Задание 2. Решить систему линейных уравнений АХ = В, заданной расширенной матрицей, методом последовательного исключения неизвестных. В случае неопределенности системы найти ее общее, базисное и любое частное решения. Сделать проверку.

Решение. Возьмем переменную х ₃ в первом уравнении за базисную и исключим ее из второго и третьего уравнений системы. Для этого умножим первое уравнение на (+2) и сложим со вторым. Для исключения х ₃из третьего уравнения умножим первое уравнения на (+1) и сложим с третьим:

Возьмем в другой строке новую базисную переменную х ₄ и исключим ее из первого и третьего уравнений. Вычеркнем строку, содержащую одни нули.

Þ .

Итак, базисными переменными будут х ₃, х ₄.

Разрешим полученные уравнения относительно базисных переменных. Остальные (небазисные) переменные называются свободными (х ₁и х ₂).

Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением СЛУ.

В нашем случае общее решение имеет вид

Если в общем решении приравнять свободные переменные нулю, то получим базисное решение

Если в общем решении свободным переменным давать произвольные значения, то получим множество частных решений.

Пусть х ₁ = 1, х ₂ = –1 Þ ;

х ₁ = 0, х ₂ = 2 Þ .

Сделаем проверку, подставив, например, базисное решение в СЛУ:

Ответ: Общее решение Базисное решение , частное решение . v

2 Задание 3. По трем заданным точкам А (3, 1), В (–13, –11), С (–6, 13) построить треугольник и средствами векторной алгебры найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) длину высоты, проведенной из точки А; 5) площадь треугольника АВС; 6) угол между сторонами ВА и ВС; 7) координаты точки N – середины стороны АС; 8) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2: 3, считая от точки А.

Решение. Чертеж треугольника приведен на рисунке 1.

1. Вычислим координаты вектора , где В (х ₁, у ₁, z ₁), С (х ₂, у ₂, z ₂), по формуле

= (–6 – (–13); 13 – (–11)) = (7, 24).

Вычислим длину вектора по формуле

= .

2. Запишем уравнение прямой ВС в виде :

Þ Þ Þ .

Уравнение прямой ВС: .

3. Уравнение высоты АD может быть получено различными способами.

1 способ. Заметим, что вектор является нормальным вектором для прямой АD и точка А (3, 1) принадлежит прямой АD, следовательно,

Þ .

Итак, АD: .

2 способ. Запишем уравнение высоты, проведенной из точки А в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом k, при этом воспользуемся свойствами угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых.

Определим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого разрешим уравнение прямой относительно у, имеем

Þ Þ .

Подставим полученные данные в уравнение прямой, проходящей через точку М (х ₀, у ₀), перпендикулярно данной прямой y = k ₁ x + b, которое имеет вид , и получим .

Запишем полученное уравнение в форме общего уравнения плоскости:

Заметим, что результаты в первом и втором слyчаях совпадают.

Итак, прямая АD задается уравнением .

4. Длину высоты АD также можно определить различными способами.

1 способ. Поскольку координаты точки А известны, найдем координаты точки D. Заметим, что точка D лежит на пересечении прямых ВС и АD, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Составляем систему из уравнений, задающих прямые ВС и АD:

Решим систему по формулам Крамера:

Þ ,

, ,

; Þ D (–8,52; 4,36).

Теперь воспользуемся формулой для вычисления длины отрезка

2 способ. Длину отрезка АD можно рассматривать как расстояние от точки А (3, 1) до прямой ВС (), поэтому воспользуемся формулой , где (x ₀, y ₀) – координаты точки А, Ах + Ву + С = 0 – уравнение прямой:

5. Найти площадь треугольника АВС. В предыдущих пунктах были определены величина основания и длина высоты . Поэтому целесообразно применить формулу . Имеем (кв. ед.).

6. Для вычисления величины угла между сторонами ВА и ВС (угол a) воспользуемся формулой :

, ,

a= аrcсos 0,8 = 36°50¢(если воспользоваться калькулятором или компьютером, то результат может быть записан в виде 36,87°).

7. Для нахождения координат середины отрезка АС воспользуемся формулами ; ; , где l = 1.Имеем

Þ .

8. Координаты точки М, найдем по формулам ; ; , где l = 2 / 3:

; .

Окончательно .

Ответ: = 25; уравнение прямой ВС: ; уравнение прямой АD: ; ; (кв. ед.); a= 36°50¢; ; . v

2 Задание 4. По четырем заданным точкам А ₁(4, 2, 5), А ₂(0, 7, 2), А ₃(0, 2, 7), А ₄(1, 5, 0) построить пирамиду и средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра А ₁ А ₂; 2) угол между ребрами А ₁ А ₂ и А ₁ А ₄; 3) площадь грани А ₁ А ₂ А ₃; 4) объем пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄; 5) уравнение прямой А ₁ А ₂; 6) уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃.

Чертеж пирамиды приведен на рисунке 2.

1. Найдем координаты и длину вектора :

= ,

2. Для определения угла j, вычислим координаты и модули векторов, направленных по сторонам этого угла:

, ;

Угол определим по формуле

По таблицам находим .

3. Для вычисления площади грани А ₁ А ₂ А ₃ воспользуемся свойствами векторного произведения двух векторов, на которых построен треугольник А ₁ А ₂ А ₃, и формулой :

, = (–4, 5,–3), ,

= ,

Þ (кв. ед.).

4. Для вычисления объема воспользуемся формулой смешанного произведения:

, (куб. ед.).

5. Для определения уравнения прямой А ₁ А ₂ воспользуемся уравнением . Имеем

окончательно получаем уравнение прямой А ₁ А ₂

6. Уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃ запишем в форме уравнения плоскости, проходящей через три точки по формуле :

Разделим обе части уравнения на 10, окончательно уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃ примет вид x + 2 y + 2 z – 18 = 0.

Ответ: ; ; (кв. ед.);

(куб. ед.); уравнение прямой А ₁ А ₂: ;

уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃: x + 2 y + 2 z – 18 = 0. v

2 Задание 5 Даны уравнения линии в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от j = 0 до j = 2p с шагом, равным p / 8; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и длины полуосей.

Решение. Составим таблицу 4 для вычисления значений r.

Таблица 4