Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы на некотором промежутке и функция U'(x)V(x) интегрируема на этом промежутке, то и функция U(x)V'(x) интегрируема на этом промежутке и справедлива формула

(2)

Доказательство: Из равенства [U(x)V(x)] ' = U'(x)V(x) + U(x)V ' (x) следует

U(x)V'(x) = [U(x)V(x)]' – U' (x)V(x) (3)

Первообразной функции [U(x)V(x)]' является функция U(x)V(x). Функция U'(x)V(x)

интегрируема по условию теоремы. Тогда и функция U(x)V'(x) интегрируема как разность интегрируемых функций. Интегрируя обе части равенства (3) и учитывая

свойства неопределенного интеграла получим формулу (2). Формула (2) называется формулой интегрирования по частям. Так как V'(x)dx = dV, U'(x)dx = dU, то её можно записать в виде

(4)

Она позволяет свести вычисление к вычислению интеграла который может оказаться более простым для интегрирования.

Примеры:

1)

2)

=

Иногда интегрирование по частям применяется несколько раз.

3) Вычислить интеграл

Укажем классы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: