Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Ряд Тейлора и Маклорена




Лекции 33,34. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд (4ч)

Содержание лекции:

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в степенной ряд, необходимое, достаточные условия. Приложения степенных рядов. Примеры.

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. Приближенное вычисление значений функции с помощью степенных рядов.

Ряд Тейлора и Маклорена

 

Пусть дана функция f (x), непрерывная на некотором множестве D и х 0Î D. Если $ сходящийся степенной ряд такой, что сумма этого ряда совпадает с f (x) в некоторой окрестности точки х 0,, т.е.

= f (x),

то говорят, что функция f (x) разлагается в степенной ряд в окрестности точке х 0 (или в ряд по степеням хх 0).

Теорема 2.

Если функция f (x) разлагается в ряд по степеням (хх 0), то коэффициенты этого ряда равны .

Доказательство. Пусть в окрестности х 0 справедливо разложение

f (x) = а 0 + а 1(хх 0) + а 2(хх 0)2 + а 3(хх 0)3 + а 4(хх 0)4 +... (3)

Положим в этом равенстве х = х 0, получим а 0 = f (x 0).

Так как ряд в окрестности х 0 сходится, то его можно дифференцировать. Продифференцируем равенство (3) п раз, получим

(x) = а 1 +2 а 2(хх 0) + 3 а 3(хх 0)2 + 4 а 4(хх 0)3 +...,

f¢¢ (x) = 2 а 2+ 6 а 3(хх 0) +12 а 4(хх 0)2 +...,

f¢¢¢ (x) = 6 а 3+ 24 а 4(хх 0) +...,

..........................

f (п) (x) = п (п –1)(п –2)...2 ап + (п +1) п (п– 1)...2 ап +1(хх 0) +...

Полагая в этих равенствах х = х 0, получим

(x 0) = а 1, или а 1= (x 0),

f¢¢ (x 0) = 2 а 2, откуда ,

f¢¢¢ (x 0) = 6 а 3, откуда ,

.............

f (п) (x 0) = п (п –1)(п –2)...2 ап, откуда . ЧТД.

Определение 1. Степенной ряд называется рядом Тейлора в точке х 0 для функции f (x), а коэффициенты этого ряда называются коэффициентами Тейлора для функции f (x).

Из теоремы 7.2. следует:

1) если функция f (x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки х 0, то это есть обязательно ряд Тейлора этой функции:

f (x) = .

2) Если функция f (x) разложима в степенной ряд в окрестности точки х 0, то она бесконечное число раз дифференцируема в этой окрестности (это свойство называют необходимым условием разложимости в степенной ряд).

Теорема 7.2. формулирует необходимое, но не достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Т.е. нельзя утверждать, что ряд Тейлора, формально составленный для функции f (x), сходится обязательно к этой функции.

Например, функция бесконечно дифференцируема в окрестности нуля, но ее ряд Тейлора имеет совершенно другую сумму.

Достаточные условия сходимости ряда Тейлора к самой функции (т.е. разложимости функции в степенной ряд) дает следующая

Теорема 3.

Для того чтобы функция f (x) могла быть разложена в степенной ряд (ряд Тейлора) в окрестности U(x 0) точки х 0, необходимо и достаточно, чтобы остаток этого ряда стремился к нулю при п ®¥ " х из этой окрестности, т.е.

f (x) = Û

для всех х ÎU(x 0).

При этом исследование поведения остатка ряда удобно проводить, используя различные формы записи остатка ряда, в частности форму Лагранжа:

,

где x – некоторое число, удовлетворяющее условию 0 < |x – x 0| < | xx 0|, т.е. число x расположено между х и х 0.

Определение 2.

Функция, которая на некотором интервале может быть представлена своим сходящимся рядом Тейлора, называется аналитической на этом интервале.

Из определения следует, что сумма сходящегося степенного ряда есть аналитическая функция в интервале сходимости ряда.






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных