Приложения степенных рядов

⇐ Предыдущая 1 23

Рассмотрим примеры применения степенных рядов к решению различных задач.

Пример 5. Вычислить число е с точностью 0,001.

Используем разложение е^х = , х Î R, положим здесь х = 1. Получим

е = . Так как S – S _n = R _n, то чтобы найти частичную сумму S _n так, чтобы она отличалась от истинной суммы не более чем на 0,001, нужно, чтобы соответствующий остаток ряда так же был не больше 0,001. Оценим остаток ряда, используя форму Лагранжа:

, откуда имеем .

Учитывая оценки , получим (п +1)! ³ 3000.

Находим:

п = 1 2! = 2; п =2 3! = 6; п = 3 4! =24;

п = 4 5!= 120; п = 5 6! = 720; п = 6 7! = 4320 > 3000

Таким образом, при п = 6 остаток ряда будет меньше 0,001. Значит, чтобы найти значение е с точностью 0,001, нужно в заданном ряде отбросить все члены, начиная с члена с номером 7, оставшаяся сумма даст искомое приближение:

е» =2,718

Пример 6. Вычислить с точностью до 0,001. Заданный интеграл можно найти непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница, при этом придется 4 раза применить интегрирование по частям. Мы же разложим в ряд по степеням х подынтегральную функцию и проинтегрируем получившийся ряд:

Получили знакочередующийся ряд, удовлетворяющий теореме Лейбница. Значит, для оценки остатка R _n этого ряда достаточно найти слагаемое, меньшее 0,001, и начиная с него, отбросить все последующие члены ряда. Оставшееся даст искомый результат. Таким членом является второй, значит » 0,1 с точностью до 0,001.

Степенные ряды широко применяются при решении дифференциальных уравнений.

Пример 7. Найти 4 первых члена разложения решения дифференциального уравнения , .

Пусть – искомое решение заданного дифференциального уравнения. Так как эта функция непрерывная, то она представима в виде ряда Тейлора:

По условию задачи, требуется найти решение, удовлетворяющее начальному условию , т.е. в окрестности точки . Следовательно, записанный выше ряд является рядом Маклорена: