Спектральное представление сигналов

В радиотехнике в качестве базиса ортогональных функций берутся гармонические функции, что связано с простотой их генерации, а также с тем, что эти сигналы инвариантны относительно преобразований в стандартных электрических цепях.

Спектральное разложение сигнала – это представление сигнала в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами.

Частотный спектр (спектр) – набор отдельных гармонических компонент сигнала.

2.3.1 Ряд Фурье

Ряд Фурьедля периодического сигнала (в ортонормированном базисе гармонических функций с учетом (15),(16)):

(17)

С коэффициентами:

	(18)
	(19)
	(20)

В общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний – гармоник, с частотами w_n = nw₁, n = 0, 1,. кратными основной частоте (w₁) последовательности. Четный сигнал имеет только косинусоидальные составляющие, нечетный сигнал – синусоидальные.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой А_n и начальной фазой j_n. Тогда коэффициенты ряда Фурье:

(21)

и эквивалентная форма ряда Фурье:

(22)

Спектральная диаграмма периодического сигнала – это графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала.

Спектральные диаграммы бывают амплитудные и фазовые (рис. 19). По горизонтальной оси диаграмм в масштабе откладываются частоты гармоник, а по вертикальной – их амплитуды или начальные фазы.

Рис. 19. Амплитудная и фазовая диаграммы периодического сигнала

2.3.2. Комплексная форма ряда Фурье

Спектральное разложение периодического сигнала можно провести в системе базисных функций, состоящих из экспонент с мнимыми показателями. Функции этого базиса периодичны с периодом Т и ортонормированны на отрезке времени [-T/2,T/2]. Тогда комплексный ряд Фурье с учетом нормы комплексного сигнала:

(23)

При вычислениях нужно учитывать связь экспоненциальных функций с тригонометрическими:

	(24)
	(25)
	(26)

В случае экспоненциального представления спектр сигнала будет содержать гармоники в отрицательной области на оси частот, при этом нужно учитывать, что отрицательная частота это не физическое, а математическое понятие, определяемое представлением комплексных чисел.

2.3.3. Спектральное представление непериодических сигналов

Пусть существует одиночный импульсный сигнал S(t) конечной длительности. Мысленно дополним его такими же сигналами, периодически следующими через некоторые интервалы времени – Т. В результате получим периодическую последовательность S_пер(t), которую можно представить в виде ряда Фурье (23).

Для перехода к одиночному импульсу увеличим до бесконечности период повторения импульсов Т. При этом:

1) Частоты nw₁ и (n+1)w₁ окажутся сколь угодно близкими и поэтому дискретную переменную nw₁ можно заменить непрерывной – w – текущей частотой.

2) Амплитудные коэффициенты С_n станут бесконечно малыми (стремящимися к нулю) из-за наличия Т®¥ в знаменателе.

3) Рассмотрим интервал частот Dw®0 в окрестностях некоторой частоты w₀. В пределах этого интервала будет содержаться N отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых будут отличаться друг от друга сколь угодно мало (N=Dw/w₁=DwT/2p ).

4) В результате указанных предположений спектральные составляющие можно складывать так, как будто они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами. Комплексная амплитуда эквивалентного гармонического сигнала внутри интервала Dw:

(27)

Причем величина

(28)

называется спектральной плотностью сигнала S(t) (спектральной функцией или преобразованием Фурье данного сигнала).

С точки зрения физического смысла спектральная плотность S(w₀)=S(2pf₀) – масштабный множитель, связывающий малую длину интервала частот Df и отвечающую ему комплексную амплитуду DA_f0 гармонического сигнала на центральной частоте f₀.

При решении обратной задачи, то есть нахождения сигнала по его спектральной плотности, необходимо воспользоваться обратным преобразованием Фурье для сигнала S(t):

(29)

Условие существования спектральной плотности сигнала: для того, чтобы сигналу S(t) можно было бы сопоставить его спектральную плотность S(w),необходимо, чтобы сигнал был абсолютно интегрируем, то есть, чтобы существовал интеграл:

(30)

Кратко изложенная теория спектрального анализа сигналов позволяет анализировать прохождение сигналов через радиотехнические цепи, устройства, системы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: