ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЯЗАДАНИЕ 1. Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Выполнить следующие задания: 1. Написать уравнения основания и боковой грани пирамиды. 2. Доказать, что боковая грань перпендикулярна плоскости основания . 3. Написать уравнение плоскости, проходящей параллельно плоскости основания через середину ребра . 4. Написать уравнения ребер и , найти угол между ними. 5. Найти угол между ребром и плоскостью основания . Решение. 1. Написать уравнения основания и боковой грани пирамиды. а) Плоскость основания задана в пространстве координатами трех точек, лежащих в этой плоскости. Поэтому для написания уравнения плоскости используем уравнение (1.3): . Подставим в данное уравнение в качестве координат первой, второй, третьей точек координаты точек , , соответственно, получим или . Упростим правую часть уравнения, разложив определитель по первой строке: , . Разделим обе части уравнения на , раскроем скобки и приведем подобные: , . Таким образом, общее уравнение плоскости имеет вид . б) Аналогично найдем уравнение плоскости , подставив в уравнение (1.3) координаты точек , , . Получим: , . , , , . Таким образом, общее уравнение плоскости имеет вид . 2. Доказать, что боковая грань перпендикулярна плоскости основания . Чтобы доказать, что боковая грань перпендикулярна основанию , используем условие перпендикулярности двух плоскостей (1.6). Для этого нам нужны общие уравнения плоскостей и нормальные векторы к данным плоскостям. Из общих уравнений плоскостей и , полученных в предыдущем пункте, найдем координаты нормальных векторов. Напомним, что если общее уравнение плоскости имеет вид , то нормальный вектор имеет координаты . В нашем случае имеем: , где . , где . Из условия перпендикулярности плоскостей следует, что если скалярное произведение нормальных векторов рано нулю, то плоскости перпендикулярны. Проверим данное условие для плоскостей и . Найдем скалярное произведение нормальных векторов и : . Т.к. скалярное произведение нормальных векторов равно нулю (векторы перпендикулярны), то плоскости и перпендикулярны. Следовательно, боковая грань перпендикулярна основанию , что и требовалось доказать. 3. Написать уравнение плоскости, проходящей параллельно плоскости основания через середину ребра . Искомая плоскость определена двумя условиями: проходит через середину ребра и параллельна плоскости . Найдем координаты середины ребра . Пусть — искомая точка, тогда для нахождения её координат используем формулы для нахождения середины отрезка (4.1). , , . , , . Таким образом, точка имеет координаты . Из условия параллельности плоскостей (2.6) следует, что нормальные векторы параллельных плоскостей коллинеарны. В частности, нормальный вектор для одной из плоскостей является нормальным и для второй плоскости. Таким образом, из условия следует, что нормальный вектор является нормальным и для плоскости , т.е. . Итак, имеем, что искомая плоскость проходит через точку и вектор перпендикулярен ей. Тогда для написания уравнения плоскости будем использовать уравнение (1.1). , где — нормальный вектор, а — точка, лежащая в плоскости. Для плоскости имеем: , , , . Таким образом, общее уравнение плоскости имеет вид .
4. Написать уравнения ребер и , найти угол между ними. а) Составим уравнения прямых и . Для этого используем уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (2.4). , где — , координаты точек, принадлежащих данной прямой. Подставим координаты точек , в канонические уравнения прямой, получим уравнения прямой : , , где направляющий вектор прямой . Аналогично получим уравнения прямой , где , . , , где направляющий вектор прямой . Таким образом, получили уравнения прямых: , , , . б) Пусть — искомый угол между ребрами и . Для нахождения угла между прямыми и подставим координаты направляющих векторов и в формулу (2.5). , где , . . (значение угла можно вычислить по таблицам Брадиса или на калькуляторе).
5. Найти угол между ребром и плоскостью основания . Для нахождения угла между прямой и плоскостью используем формулу (3.1). , где — угол между плоскостью основания и ребром , — направляющий вектор прямой , — нормальный вектор плоскости . Для угла имеем: . . Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|