Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона

Система нелинейных уравнений записывается в виде

,

, (9.11)

………………….

.

Такие системы уравнений решаются практически исключительно численными методами. Изложим здесь метод Ньютона. Формулы итераций по методу Ньютона можно получить следующим образом. Возьмем некоторую точку , которую назовем, начальным приближением к решению рассматриваемой системы нелинейных уравнений (9.11). Разложим функции в системе (1) в ряд Тейлора в окрестности точки и удержим в разложении только линейные члены. Получим следующую систему уравнений

,

……………………………………………………………………………….(9.12)

,

где – частная производная функции по аргументу , вычисленная в точке , и

, . (9.13)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно переменных , которая может быть решена, например, методом Гаусса. Получив решение этой системы, из формулы (9.13) можем найти новое приближение

, . (9.14)

Далее решаем систему линейных уравнений (9.12) со значениями и по полученному решению находим

, .

Хорошим критерием остановки процесса является условие

, (9.15)

где – некоторое малое число, характеризующее допустимую погрешность вычисления корней системы нелинейных уравнений.

Более компактной является векторно-матричная форма метода Ньютона, которая позволяет также провести аналогию с методом Ньютона для решения одного уравнения. Для получения векторно-матричной формы метода Ньютона систему уравнений (9.11) записывают в векторной форме

,

где – вектор-строка неизвестных переменных, – вектор-строка функций в левой части системы уравнений (9.11). При таких обозначениях система линейных уравнений (9.12) примет вид

, (9.16)

где

–

матрица частных производных функций , вычисленная в точке ,

. (9.17)

Получив решение уравнения (9.16), по формуле (9.17) получим новое приближение

.

Критерий остановки процесса итераций (9.15) записывается теперь в виде

,

где – евклидова норма вектора .

Векторно-матричная форма позволяет записать итерацию метода Ньютона в виде формулы, аналогичной формуле (5.9) метода Ньютона для одного уравнения. Действительно, уравнение (9.16) можно записать в виде

, (9.18)

откуда получаем следующую формулу итераций:

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: