График выполнения курсовой работы

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання курсової роботи

"НЕПАРАМЕТРИЧНА ІДЕНТИФІКАЦІЯ ОБ'ЄКТА УПРАВЛІННЯ"

з дисципліни

"МОДЕЛЮВАННЯ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ"

для магістрантів з спеціальності 8.05020101 –

“«Комп’ютеризовані системи управління та автоматика»

ОДЕСА ОНПУ 2012

Методичні вказівки до виконання курсової роботи "Непараметрична ідентифікація об'єкта управління" з дисципліни "Моделювання неперервних систем" для магістрантів з спеціальності з спеціальності 8.05020101 – «Комп’ютеризовані системи управління та автоматика» / Укл. В.Д. Павленко – Одесса: ОДПУ, 2012. – 14 с.

Укладач: В.Д. Павленко, канд. техн. наук, ст. науковий співробітник, доцент каф. "Комп'ютеризовані системи управління"

Затверджено на засіданні кафедри

"Комп'ютеризовані системи управління"

Протокол №1 від 28.08.2012

Содержание

Введение

Решение задач управления, как в технических, так и в других областях человеческой деятельности тесно связано с вопросами математического моделирования, то есть с построением модели и изучением на ней закономерностей функционирования объекта. Без знания с достаточной точностью характеристик и параметров (математической модели) сложного объекта невозможно организовать качественное управление им.

Для построения математической модели динамического объекта возможны два принципиально различных подхода [1]:

1. Теоретические методы получения математического описания физических, физико–химических процессов, протекающих в объекте.

2. Экспериментальные методы получения математического описания – идентификация объектов.

Однако, во многих случаях математическая модель, полученная с помощью теоретических исследований процессов, протекающих в объекте, может быть не адекватной реальному объекту. В результате этого значительно снижается эффективность управления объектом. Непосредственная же оценка параметров и характеристик объекта не представляется возможной – она осуществляется косвенно, через измеренные в результате эксперимента входные и выходные сигналы объекта. Кроме того, измерения входных и выходных сигналов осуществляются в реальных условиях, характеризующихся действием всевозможных шумов и помех. В этом случае использование традиционных детерминированных подходов и корреляционной теории может не привести к цели из–за некорректной постановки задачи [1, 2].

Указанные обстоятельства обусловили возникновение и развитие одного из важных направлений теории управления и моделирования – идентификацию систем.

Идентификацией динамического объекта называется получение (уточнение) по экспериментальным данным математической модели объекта или процесса посредством того или иного математического аппарата [1–5]. Иными словами под идентификацией понимают процесс построения математической модели, устанавливающей закономерность между входными и выходными переменными объекта, которая дает возможность определить с заданной точностью выходную переменную объекта–оригинала по его входным переменным. Основой для создания модели изучаемого объекта служат результаты измерений входных и выходных переменных объекта, и решение задачи идентификации связано с получением этих экспериментальных данных и их обработкой с учетом шумов измерений.

Для объектов, относительно которых отсутствует какая–либо априорная информация (объектов типа “черный ящик”), используются методы непараметрической идентификации (прямые методы) [1,2]. При этом определяются дискретные значения динамических характеристик в конечном числе точек, путем подачи специальных пробных сигналов заданной формы (активный эксперимент) или находятся решения соответствующих уравнений статистической динамики (пассивный эксперимент) [1]. Активные методы идентификации неприменимы в режиме нормальной эксплуатации объекта и в этом случае используют пассивные методы, основанные на статистической обработке наблюдаемых сигналов (корреляционном анализе).

Целью курсовой работы (КР) является закрепление знаний в области непараметрической идентификации линейных объектов управления в виде импульсной переходной (весовой) функции; овладение навыками численного определения импульсной переходной характеристики объекта управления по данным эксперимента "вход–выход" с учетом шумов измерений; приобретение навыков непараметрической идентификации объекта управления с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье; исследование эффективности применения метода регуляризации некорректных задач при непараметрической идентификации линейного объекта; научиться анализировать полученные результаты исследований; закрепление знаний в области методов вычислений и программирования.

1. Теоретический материал

Необходимо построить линейную математическую модель объекта управления в виде импульсной переходной функции w(t) на основании данных эксперимента “вход–выход”. В связи с отсутствием математической модели объекта управления решается задача непараметрической идентификации, т.е. w(t) определяется как совокупность значений на заданной равномерно сетке по времени с шагом .

Выходной сигнал линейной динамической системы y(t) можно определить с помощью интеграла свертки входного сигнала x(t) и импульсной переходной функции системы w(t) (прямая задача):

(1)

Обратная задача (задача идентификации) заключается в том, чтобы найти импульсную переходную функцию w(t), т.е. решить интегральное уравнение (1), когда входной x(t) и выходной y(t) сигналы известны. Эту задачу будем решать для известного выходного сигнала y(t), а также для зашумлённого сигнала z(t)= y(t)+n(t), где n(t) – помеха. В условиях реального эксперимента идентификация затрудняется наличием шумов, которыми могут быть: чистые помехи; неизмеряемые сигналы, коррелированные с измеряемыми; ошибки измерения и преобразования; ошибки, связанные с неадекватностью предполагаемой структуры модели объекту и т.д. Все эти шумы можно привести к выходу и представить одной величиной n(t) (рис.1) [1].

Рис.1. Схема процесса идентификации

Обратная задача может быть решена с использованием преобразования Фурье. Известно, что комплексные функции Y(jw), X(jw) и W(jw), являющиеся Фурье–образами соответственно функций y(t), x(t), w(t), связаны между собой следующим соотношением:

(2)

Отсюда

(3)

Импульсная переходная функция w(t) определяется с помощью обратного преобразования Фурье от W(jw). Практически при вычислении Фурье–образа импульсной переходной функции W(jw) пользуются выражением:

(4)

где , – функция сопряженная с X(jw).

Необходимо отметить, что задача решения интегрального уравнения (1) является обратной задачей (восстановление характеристик системы по результатам ее функционирования) и относится к классу некорректно поставленных задач [6,7], т.е. ее решение оказывается неустойчивым к погрешностям исходных данных. Некорректность в предложенном алгоритме проявляется в значительных погрешностях определения функции W(jw) при больших w. В самом деле, если вместо точной реакции y(t) измеряется зашумленная реакция (наблюдаемый сигнал есть аддитивная смесь точного отклика объекта и помехи), то для восстановления w(t) необходимо решить интегральное уравнение

. (5)

Преобразование Фурье уравнения (5) дает свертку в частотной области:

(6)

(7)

Спектры Фурье и стремятся к нулю несогласованно: обычно спектр помехи существенно шире спектра входного сигнала . Поэтому второе слагаемое может породить операцию деления на нуль или на близкое к нулю число. В итоге уклонение от может оказаться сколь угодно большим.

Хорошо известен метод борьбы с помехами, состоящий в повторении эксперимента и последующего усреднения результатов [2]. В настоящей работе устойчивость вычислительного процесса процедуры идентификации обеспечивается использованием метода регуляризации А.Н. Тихонова [7,8]. При этом, в отличие метода усреднения здесь не требуется многократного повторения эксперимента (оно заменяется многократным решением задачи при поиске параметров регуляризации), гарантируется требуемая гладкость решения и решение находится с той именно точностью, с которой осуществлены измерения.

В этом случае Фурье–образ функции w(t) определяется из соотношения:

(8)

где a>0 – параметр регуляризации;

(9)

– положительная функция, обеспечивающая регуляризацию p –го порядка.

2. Описание численного эксперимента и его программная реализация

В КР необходимо произвести численный эксперимент – вычислить значения импульсной переходной характеристики объекта управления по данным эксперимента "вход–выход" x(t) и y(t) при наличии погрешностей измерений n(t) (рис.1). Для решения поставленной задачи необходимо составить программу на языке C++, реализующую последовательно следующие этапы.

2.1. Прямая задача: моделирование объекта идентификации и погрешностей измерений, получение наблюдаемого отклика. По заданным аналитическим выражениям для входного сигнала x(t) и импульсной переходной характеристики w(t) объекта (выбираются из таблицы 1 в соответствии с номером варианта – последней цифрой номера зачетной книжки) рассчитываются дискретные значения x_i=x(t_i) и w_i=w(t_i) на сетке t_i=(i–0.5)Dt, i=1,2,…,N (принять N=64). Затем путём численного интегрирования (1) вычисляется y(t_i) [9]. Метод численного интегрирования выбирается в соответствии с номером варианта из таблицы 2.

Для генерирования на ПЭВМ помехи n(t_i) используется формула

(10)

где – случайное число из интервала (0,1), – некоторый масштабирующий коэффициент. Преобразование (10) позволяет центрировать случайную последовательность чисел и согласовать уровень помехи с уровнем полезного сигнала – отклика объекта идентификации. Причем генерируются помехи при трех значениях коэффициента : . Для получения случайной последовательности чисел используем функцию int random(int n), которая генерирует случайное число от 0 до n.

Наблюдаемый отклик получаем как аддитивную смесь полезного сигнала и помехи

z_j(t_i) = y(t_i) + n_j(t_i), j= 1,2,3; i= 1,2,…, N. (11)

При написании программы моделирования объекта и процедуры его идентификации необходимо использовать для вещественных переменных и массивов тип данных double (вещественный с двойной точностью).

В результате выполнения первого этапа КР будут сформированы исходные данные для решения задачи идентификации.

2.2. Обработка сигналов с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Для выполнения преобразования Фурье функций x(t), y(t) и обратного преобразования от изображения по Фурье весовой функции W(jw) используется функция ftf1c (текст функции на языке C++ приведен в приложении), которая реализует эффективную процедуру на основе алгоритма быстрого преобразования Фурье [7]. Для вызова функции ftf1c в разделе объявлений главной функции должны быть объявлены сама функция ftf1c и вызываемая из неё вспомогательная функция swap, выполняющая обмен двух элементов массива:

void ftf1c(double *,double *,int,int,double);

void swap(double *,double *);

Кроме того необходимо включить в программу директиву препроцессора #define, реализующую простую макроподстановку

#define SIZ 64

(определяет используемую функцией ftf1c символическую константу SIZ).

Обращение к функции ftf1c

График выполнения курсовой работы

Содержание этапов курсовой работы и сроков их выполнения представлены в таблице 3.

Таблица 3. Этапы выполнения курсовой работы (второй семестр).

5. Контрольные вопросы

1. Сформулировать постановку задачи, которая решается при параметрической и непараметрической идентификации.

2. В чем отличие процедуры идентификации при постановке активного эксперимента от постановки пассивного эксперимента?

3. Какие типы пробных сигналов используются при активной идентификации объектов управления?

4. Как осуществить непараметрическую идентификацию объекта в виде весовой функции во временной области с использованием метода наименьших квадратов?

5. Как применить предложенный метод идентификации к объектам, имеющим несколько входов и несколько выходов?

6. Объяснить причину неустойчивости численного решения задач непараметрической идентификации посредством преобразования Фурье.

7. Сформулировать основную идею метода регуляризации, которая используется в данной работе.

8. Объясните используемый в работе алгоритм определения кквазиоптимального значения параметра регуляризации.

9. Объясните характер зависимости погрешности оценки весовой функции (решения задачи непараметрической идентификации) от значения параметра регуляризации.

10. Можно ли использовать данный математический аппарат для идентификации нелинейных объектов?

11. Сформулировать задачу идентификации как экстремальную задачу.

12. Оценить, как будет влиять число интервалов разбиения N на методическую погрешность идентификации и на погрешность вычислений.

13. Как сформировать на ПЭВМ случайный сигнал, с характеристиками близкими к "белому шуму"?

Литература

1. Пупков К.А., Егупов Н.Д. Методы классической и современной теории автоматического управления. Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления: Учебник для ВУЗов. В 5 тт. Т. 2, 2–е изд., перераб. и доп. – М.: Изд–во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 638 С.

2. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации в теории управления: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2004. – 256 с.

3. Васильев В.В., Грездов Г.И., Симак Л.А., Васильев А.В., Косова А.М. Моделирование динамических систем: аспекты мониторинга и обработки сигналов / НАН Украины; Институт проблем моделирования в энергетике им. Г.Е.Пухова. Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике / В.В. Васильев (ред.). — К., 2002. — 344 с.

4. Толчеев В.О., Ягодкина Т.В. Методы идентификации линейных одномерных динамических систем. – М.: Изд–во МЭИ, 1997.

5. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. – М.: Энергоатомиздат,1987. – 80c.

6. Справочник по теории автоматического управления. / Под ред. А.А.Красовского. – М: Наука, 1987. Гл.5. Методы и алгоритмы идентификации динамических систем. С. 222–310.

7. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. /А.Н.Тихонов, А.Н.Гончарский, В.В.Степанов и др.. – М: Наука, 1983. – 200 с.

8. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. – Киев: Наукова думка, 1986. – 542 с.

9. Бабак В.П., Хандецький В.С., Шрюфер Е. Обробка сигналів: Підручник– К.: Либідь, 1999. – 488 с.

10. Методи обчислень. Практикум на ЕОМ. – Київ: Вища школа, 1995.

11. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x: – В 2-х т. – М.:ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.

12. Лазарев Ю.Ф. MATLAB 5.x. – К.: BHV, 2000. – 384 c.

Приложение. Функция ftf1c, реализующая алгоритм быстрого преобразования Фурье

void ftf1c(double *Are, double *Aim, int in, int k, double p)

{

int z,n1,mm,n2,i,j,m,jj,ii;

double t,r,co,a,si,b,c,s;

n1=SIZ/2;

mm=n1/2;

n2=n1+k;

jj=in;

for(j=in+k;j<=n1;j+=k)

{

ii=jj+n1;

swap(Are+j,Are+ii);

swap(Aim+j,Aim+ii);

j+=k;

for(m=mm;jj>m;m/=2) jj–=m;

jj+=m;

if(jj<j) continue;

swap(Are+j,Are+jj);

swap(Aim+j,Aim+jj);

i=j+n2;

ii=jj+n2;

swap(Are+i,Are+ii);

swap(Aim+i,Aim+ii);

}

i=k;

t=PI;

if(p)

{

if(p>0) t=–t;p=–t;

do

{

si=0.0;co=1.0;

s=sin(t);c=cos(t);

t*=0.5;ii=i;i+=i;

for(z=in;z<=ii;z+=k)

{

for(j=z;j<=SIZ;j+=i)

{

jj=j+ii;

a=Are[jj];b=Aim[jj];

r=a*co–b*si;

Are[jj]=Are[j]–r;

Are[j]+=r;

r=b*co+a*si;

Aim[jj]=Aim[j]–r;

Aim[j]+=r;

}

r=c*co–s*si;

si=si*c+s*co;

co=r;

}

}while(i<SIZ);

}

}

void swap(double *Op1,double *Op2)

{

double Temp;

Temp=*Op1;

*Op1=*Op2;

*Op2=Temp;

}

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: