Частотная характеристика

При подаче на вход линейной системы гармонического (синусоидального) сигнала с частотой (она измеряется в радианах в секунду), на выходе будет также гармонический сигнал той же частоты, но другой амплитуды и фазы[4] , где – амплитуда и – сдвиг фазы.

Частотная характеристика определяется как реакция системы на комплексный экспоненциальный сигнал . Для ее построения надо использовать подстановку в передаточной функции . Выражение называется частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой частотной характеристикой системы (АФЧХ).

Зависимость модуля величины от частоты называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость аргумента комплексного числа (фазы) от частоты ­– фазовой частотной характеристикой (ФЧХ):

.

АЧХ показывает, насколько усиливается амплитуда сигналов разных частот после прохождения через систему, а ФЧХ характеризует сдвиг фазы сигнала.

Реальные объекты имеют строго правильную передаточную функцию, поэтому их АЧХ убывает с ростом частоты и асимптотически стремится к нулю. Говорят, что такой объект обладает свойством фильтра – фильтрует (не пропускает) высокочастотные сигналы (помехи, шумы измерений). Это свойство служит основой для использования метода гармонического баланса.

Частота, после которой значение АЧХ уменьшается ниже 0 дБ (коэффициент усиления меньше 1, сигнал ослабляется), называется частотой среза системы .Частота, после которой значение АЧХ падает ниже -3 дБ (коэффициент усиления меньше, чем 0.708), называется полосой пропускания системы . Для ее вычисления используют команду

>> b = bandwidth (f)

Максимум АЧХ соответствует частоте, на которой усиление наибольшее. Значение АЧХ при равно усилению при постоянном сигнале, то есть, статическому коэффициенту усиления . Это следует и из равенства .

Для систем с интегрирующими звеньями частотная характеристика стремится к бесконечности при . Это значит, что их выход бесконечно увеличивается или уменьшается при постоянном входном сигнале.

Чтобы построить частотные характеристики в Matlab, надо сначала создать массив частот в нужном диапазоне. Для этого можно использовать функции linspace (равномерное распределение точек по линейной шкале) и logspace (равномерное распределение точек по логарифмической шкале). Команда

>> w = linspace (0, 10, 100);

строит массив из 100 точек с равномерным шагом в интервале от 0 до 10, а команда

>> w = logspace (-1, 2, 100);

– массив из 100 точек с равномерным шагом по логарифмической шкале в интервале от до .

Частотная характеристика на сетке w для линейной модели f (заданной как передаточная функция, модель в пространстве состояний или в форме «нули-полюса») вычисляется с помощью функции freqresp:

>> r = freqresp(f, w);

Функция freqresp возвращает трехмерный массив. Это связано с тем, что она применима и для многомерных моделей (с несколькими входами и выходами), передаточная функция которых представляет собой матрицу. Первые два индекса обозначают строку и столбец в этой матрице, а третий – номер точки частотной характеристики. Для системы с одним входом и одним выходом удобно преобразовать трехмерный массив в одномерный командой

>> r = r(:);

Для вывода графика АЧХ на экран можно использовать команды Matlab

>> plot (w, abs(r));

>> semilogx (w, abs(r));

>> loglog (w, abs(r));

В первом случае масштаб обеих осей координат – линейный, во втором случае используется логарифмический масштаб по оси абсцисс (частот), в последнем ­– логарифмический масштаб по обеим осям. Для вычисления фазы (в градусах) используется команда

>> phi = angle(r)*180/pi;

после чего можно строить ФЧХ, например:

>> semilogx (w, phi);

Полюса и нули

Многие динамические свойства системы (например, быстродействие, перерегулирование) определяются полюсами передаточной функции (или, что то же самое, собственными числами матрицы модели в пространстве состояний).

Передаточную функцию можно записать как произведение передаточных функций элементарных звеньев первого и второго порядков. Таким образом, множество полюсов передаточной функции устойчивой системы составляют полюса передаточных функций двух типов простейших звеньев: апериодических и колебательных.

Апериодическое звено с передаточной функцией вида имеет единственную характеристику – постоянную времени . Начиная примерно с частоты[5] , АЧХ такого звена начинает убывать, приближаясь к нулю.

Колебательное звено имеет передаточную функцию , где – постоянная времени и . Частота называется собственной частотой (natural frequency), а параметр – параметром затухания или коэффициентом демпфирования (damping factor). При уменьшении импульсная и переходная функции приобретают ярко выраженный колебательный характер, а на АЧХ появляется «горб» в районе частоты . В предельном случае при колебания становятся незатухающими, а звено называется консервативным. С другой стороны при корни знаменателя становятся вещественными, и звено превращается в апериодическое звено второго порядка.

Для нахождения полюсов передаточной функции f можно использовать функцию

>> p = pole (f)

Вызов функции

>> [w0,zeta,p] = damp (f)

позволяет найти не только полюса p, но также соответствующие им собственные частоты w0 и коэффициенты демпфирования zeta в виде массивов.

Нули передаточной функции f вычисляются как

>> z = zero (f);

Устойчивость системы не зависит от расположения нулей, но они существенно влияют на переходные процессы. Команда

>> pzmap (f);

строит карту расположения нулей (они обозначаются кружками) и полюсов (крестики) системы на комплексной плоскости.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: