Теоретическое рассмотрение

Момент инерции J твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением

,

где r — расстояние элемента массы dm от оси вращения.

В простых случаях величину момента инерции можно определять расчетом, а в сложных — его приходится находить экспериментальным путем. Одним из удобных методов измерения моментов инерции твердых тел является метод трифилярного подвеса. Устройство такого подвеса показано на рис. 1. Подвижная платформа Р' подвешена к платформе Р на трех симметрично расположенных нитях АА', ВВ' и . Если повернуть нижнюю платформу Р' вокруг вертикальной оси на некоторый угол φ относительно верхней, то возникает момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. В результате этого платформа начинает совершать крутильные колебания.

Рассмотрим теорию трифилярного подвеса. Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии для колеблющейся платформы можно написать следующее уравнение;

, (1)

где J - момент инерции платформы вместе с исследуемым телом, М - масса платформы с телом, Е - полная энергия системы, z ₀ - начальная координата точки О' (при φ = 0), z - координата точки О' при текущем значении φ. Точкой обозначено дифферен­цирование по времени.

Как следует из рис. 1, координаты точки С равны (r, 0, 0), а точка С' имеет координаты (R Cosφ, R Sinφ, z). Расстояние

Рис. 1. Трифилярный подвес

1 – пересчетное устройство, 2 – осветитель, 3 – фотоэлемент.

между точками С и С' равно длине нити l. Поэтому

(RCos φ - r)² + R²Sin² φ + z² = l²,

или

z² = l² — R² — r² + 2Rr Cos φ = z²_о — 2 Rr (l — Cos φ ) ≈

≈ z²_о – Rr φ ². (2)

При написании (2) было принято во внимание, что для малых углов cos φ ≈l — φ ²/2 и очевидно равенство: z_о²+(R–r²) = l². Извлекая корень из выражения (2), най­дем, что при малых φ

. (3)

Подставив это значение z в уравнение (1), получим:

. (4)

Продифференцировав последнее выражение по времени и сократив на φ, получим уравнение движения системы:

(5)

Нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, что решение этого уравнения имеет вид

(6)

где амплитуда φ₀ и фаза Θ определяются начальными условиями. Период колебаний системы Т, следовательно, равен

(7)

Разрешив (7) относительно J, найдем выражение для момента инерции:

J = MgRrT²/(4 π ²z_о). (8)

Учитывая, что параметры прибора (R, r, z₀) во время опыта не меняются, формулу (8) удобно записать в виде

J = kMT², где k = gRr/(4 π ²z_о) (9)

и k для данного прибора постоянно. Формула (9) позволяет вычислить момент инерции платформы с телом и без него по измеренной величине периода Т.

Как следует из вывода, формула (8) справедлива при отсутствии потерь энергии на трение. Учет таких потерь весьма затруднителен. Однако поправки оказываются небольшими, если потери энергии за период малы по сравнению с энергией колебаний системы. Таким образом, формула (8), а вместе с ней и (9), справедлива, если

, (10)

где τ — время, в течение которого амплитуда колебаний платформы существенно уменьшается (в 2 - 3 раза).

В данной работе значения Т рекомендуется измерять с точностью не хуже чем 0,5%. Этим условием определяется время и полное число колебаний платформы, которое необходимо отсчитать в процессе измерений.

Для счета числа колебаний используется фотоэлектрический датчик, состоящий из осветителя, фотоэлемента и пересчетного устройства электронного блока (см. рис. 1). Легкий лепесток, укрепленный на платформе, пересекает световой луч дважды за период. Соответствующие сигналы от фотоэлемента поступают на пересчетный прибор. С его индикаторной панели считывается значение времени, соответствующее заранее заданному числу колебаний.

Описание установки

На рис. 2 представлен общий вид экспериментальной установки. Основание (1) оснащено регулируемыми ножками (2), которые позволяют привести прибор в строго вертикальное положение. В основании закреплена колонка (3), к которой прикреплен подвижный верхний кронштейн (4) и подвижный нижний кронштейн (5).

Подвижная нижняя платформа (8) подвешена к верхней платформе (6) на трех симметрично расположенных нитях (7). К нижнему кронштейну крепится фотоэлектрический датчик (9), соединённый с электронным блоком.

Рис.2. Экспериментальная установка для определения моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса.

Принадлежности: трифилярный подвес; секундомер; счетчик числа колебаний; штангенциркуль; набор тел, подлежащих измерению (диск, стержень, полый цилиндр и т. д.).

Порядок выполнения работы:

1. Не нагружая нижней платформы, проверьте, пригодна ли установка для измерений, т. е. нормально ли функционирует устройство для возбуждения крутильных колебаний, не возникают ли при этом паразитные маятникообразные движения платформы, работает ли счетчик числа колебаний и т. д.

2. Возбудив в системе крутильные колебания, проверьте, достаточно ли хорошо выполняется неравенство (10). Добиваться большой точности при выполнении этого упражнения не имеет смысла. Это измерение рекомендуется выполнять при ненагруженной платформе.

3. Как видно из формулы (7), период колебаний платформы Т не должен зависеть от амплитуды φ_о. Это справедливо только для достаточно малых значений φ_о, поэтому необходимо установить рабочий диапазон амплитуд. Возбудив в ненагруженной системе крутильные колебания, измерьте время 10 - 20 полных колебаний и, разделив его на число колебаний, найдите период Т₁, соответствующий некоторому начальному значению амплитуды φ₁. Затем, уменьшив амплитуду приблизительно вдвое, таким же способом найдите соответствующий ей период Т₂. Если в пределах точности эксперимента окажется, что Т₁ = Т₂, то для дальнейших измерений можно выбрать любое значение φ_о ≤ φ ₁. Если же окажется, что Т₁ ≠ Т₂, то начальное значение амплитуды φ необходимо уменьшать до тех пор, пока указанное равенство не будет выполнено.

4. Измерьте высоту z_о, и радиусы R и r. Рассчитайте константу прибора k. Найдите величину погрешности σ _k.

5. Определите момент инерции ненагруженной платформы, измерив период колебаний Т и подставив в формулу (9). Повторите опыт не менее трех раз.

6. Измерьте моменты инерции двух тел из имеющегося набора сначала порознь, а потом вместе. Помещать грузы надо так, чтобы центр масс каждого из них лежал на оси вращения системы, т. е. чтобы не было перекоса платформы. Проверьте аддитивность моментов инерции, т. е. справедливость соотношения

J_о = J₁ + J₂,

где J₁ и J₂ - моменты инерции первого и второго грузов, а J_о - их общий момент инерции. Точность, с которой выполняется указанное равенство, служит хорошей мерой точности экспериментов. Измеренные значения моментов инерции сравните с расчетными (по формулам для моментов инерции простых тел).

7. Поместите на платформу диск, разрезанный вдоль оси, и постепенно раздвигайте половинки диска так, чтобы их общий центр масс все время оставался на оси вращения платформы (рис. 3). Снимите зависимость момента J такой системы от расстояния h каждой из половинок до оси платформы. В каких координатах следует построить полученную зависимость J = f(h) чтобы график имел вид прямой линии? Постройте этот график. Чему равен угловой коэффициент полученной прямой?

Контрольные вопросы

1. При каких упрощающих предположениях выведена формула (8)?

2. Можно ли пользоваться предложенным методом для определения моментов инерции тел в том случае, если ось вращения платформы не проходит через их центр масс?

3. Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса - Штейнера.

Л и т е р а т у р а

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика. - М.: Наука, 1979, §§ 35, 36, 42.

2. Стрелков С. П. Механика. - М.: Наука, 1975, §§ 52, 55, 59.

3. Хайкин С. Э. Физические основы механики. - М.: Наука, 1971, §§ 67, 68,89.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: