Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Зміст лекцій та практичних занять

Професор Осадчий М. М. 17 червня 2011 р.

Затверджена на засіданні кафедри математичного аналізу.

Протокол №12 від 16 червня 2011 р.

Завідувач кафедри, доцент Герус О. Ф.

 

 

Робоча програма нормативної навчальної дисципліни

“Комплексний аналіз”

Напрям підготовки 6.040201 Математика*

Навчальний план 2009 року

Укладач: доцент Герус О. Ф.

 

Стаціонарне відділення

Семестр Кількість годин Форми контролю
Всього Лекцій Практичних Самостійна робота Кількість аудиторних контрольних Кількість самостійних контрольних Залік Екзамен
              - +

 

Житомир – 2011


Тематичний план

Семестр Розділи і теми програми Кількість годин Форми контролю
Всього Лекції Практ. Сам. робота
  1 модуль
Розділ 1. Комплексні числа.         Модульна контрольна робота
Тема 1.1. Поле комплексних чисел.        
Тема 1.2. Послідовності і ряди комплексних чисел.        
Розділ 2. Функції комплексної змінної.        
Тема 2.1. Границя і неперервність функцій комплексної змінної.        
Тема 2.2. Функціональні ряди.        
Тема 2.3. Диференціювання функцій комплексної змінної.        
Тема 2.4. Елементарні функції комплексної змінної.        
Разом за 1 модуль:        
2 модуль
Розділ 3. Інтеграли і ряди Лорана.         Модульна контрольна робота
Тема 3.1. Інтеграл та його властивості.        
Тема 3.2. Ряди Лорана.        
Разом за 2 модуль:        
Разом по дисципліні:          

Зміст лекцій та практичних занять

1 модуль
Лекції Практичні
Тема 1.1. Поле комплексних чисел. 1. Поле комплексних чисел. Алгебраїчна форма комплексного числа, арифметичні дії. Геометричне зображення комплексних чисел. Модуль і аргумент комплексного числа. Тригонометрична форма комплексного числа. Множення, ділення, піднесення до степеня і добування коренів з комплексних чисел в тригонометричній формі. Евклідова і комплексна площини. Окіл точки. Топологічний простір. Неперервне відображення топологічного простору. Гомеоморфізм. Топологія комплексної площини C. Гомеоморфізм просторів C і . 2.Сфера Рімана. Стереографічна проекція. Кругова і конформна властивості стереографічної проекції. Нескінченна точка та її окіл. Сферична метрика, сферична віддаль до нескінченної точки. Еквівалентність сферичної і евклідової метрик на обмежених множинах. Розширена комплексна площина. Література: [1, 2, 3]. 1.Комплексні числа та дії над ними. 2.Множини точок на площині.
Тема 1.2. Послідовності і ряди комплексних чисел. 1. Границя послідовності комплексних чисел. Нескінченна границя. Теорема про зв'язок границі послідовності комплексних чисел з границями її дійсної і уявної частин (випадки скінченної та нескінченної границь). Властивості границь (єдиність, обмеженість послідовності, яка має скінченну границю, арифметичні властивості). Критерій Коші збіжності послідовності. Принцип Больцано-Вейєрштраса і . 2. Поняття числового ряду та його суми. Теорема про зв'язок збіжності ряду зі збіжністю рядів, складених з дійсних та уявних частин його членів. Абсолютно збіжні ряди. Теорема про збіжність абсолютно збіжного ряду. Література: [1, 2, 3]. 1. Послідовності і ряди комплексних чисел.
Тема 2.1. Границя і неперервність функцій комплексної змінної. 1. Поняття функції комплексної змінної. Однолиста функція. Означення границі функції (скінченної і нескінченної, в скінченній і нескінченній точках). Теорема про зв'язок границі функції з границями її дійсної і уявної частин. Теорема про зв'язок границі функції з границями її модуля і аргумента. Означення неперервної функції. Властивості функції, неперервної на замкненій обмеженій множині (обмеженість, досягання точних меж модуля, рівномірна неперервність). 2. Поняття неперервної кривої, спрямлюваної кривої, гладкої кривої, кусково-гладкої кривої. Поняття зв'язної та лінійно зв'язної множин. Теорема про зв'язність відрізка дійсної осі. Теорема про зв'язність лінійно зв'язної множини. Теорема про лінійну зв'язність відкритої зв'язної множини. Поняття області. Межа області. Теорема про замкненість межі області. Означення континуума. Поняття зв'язної компоненти множини. Поняття однозв'язної та багатозв'язної області. Література: [1, 2, 3]. 1. Функції комплексної змінної, границя та неперервність.
Тема 2.2. Функціональні ряди. 1. Означення рівномірно збіжного функціонального ряду. Необхідна і достатня умова рівномірно збіжного функціонального ряду (Критерій Коші). Ознака Вейєрштраса рівномірної абсолютної збіжності функціонального ряду. Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля. Круг і радіус збіжності степеневого ряду. 2. Теорема Коші-Адамара. 3. Приклади різних радіусів збіжності рядів та різних множин точок збіжності на межі круга збіжності. Приклад степеневого ряду, не рівномірно збіжного в крузі збіжності. Теорема про рівномірну збіжність степеневого ряду в замкненому крузі, що належить його кругу збіжності. Література: [1, 2, 3]. 1. Степеневі ряди. Відшукання їх області збіжності.  
Тема 2.3. Диференціювання функцій комплексної змінної. 1. Означення похідної від функції комплексної змінної. Правила диференціювання. Означення диференційовної функції. Теорема про зв'язок між диференційовністю функції та існуванням її похідної. Теорема Коші-Рімана. 2. Означення функції, аналітичної в області. Означення формальних похідних функції. Умова аналітичності функції в термінах формальних похідних. Лема про верхню границю добутку. Диференціювання степеневих рядів. 3. Геометричний зміст аргумента і модуля похідної. Поняття конформного відображення першого і другого роду. Зв'язок конформного відображення з диференціальними властивостями здійснюючої його функції. Література: [1, 2, 3]. 1. Диференціювання функцій. Умови Коші – Рімана. Відновлення аналітичної функції за її дійсною або уявною частиною. 2. Геометричний зміст аргумента і модуля похідної. 3. Конформні відображення. 4. Конформні відображення.
Тема 2.4. Елементарні функції комплексної змінної. 1. Лінійна функція. Дробово-лінійна функція. Означення кута між кривими в нескінченній точці. Конформність дробово-лінійного відображення в розширеній комплексній площині. 2. Групова і кругова властивості дробово-лінійного відображення. Визначення дробово-лінійного відображення за трьома парами відповідних точок. Функція Жуковського, конформність здійснюваного нею відображення, області однолистості. 3. Функція . Функція . Тригонометричні функції. Функція . Функція . Парадокс Бернуллі. Степінь в комплексній області. Обернені тригонометричні та обернені гіперболічні функції. Література: [1, 2, 3]. 1. Основні елементарні функції комплексної змінної. 2. Основні елементарні функції комплексної змінної. 3. Контрольна робота.
2 модуль
Тема 3.1. Інтеграл та його властивості. 1. Означення інтеграла від функції комплексної змінної. Теорема про існування інтеграла від неперервної функції по спрямлюваній кривій. Приклади обчислення інтегралів: , . Властивості інтеграла (зміна орієнтації кривої, лінійність, винесення сталої, адитивність, оцінка модуля інтеграла). Почленне інтегрування рівномірно збіжного ряду. 2. Обчислення інтеграла по кусково-гладкій кривій. Обчислення інтеграла . Теорема Коші при умові неперервності похідної. Поширення теореми Коші на складні контури. 3. Інтеграл як функція кінця кривої. Неозначений інтеграл в комплексній області, формула Ньютона-Лейбніца. Інтегральне подання логарифма. 4. Інтегральна формула Коші. Розкладання аналітичної функції в степеневий ряд. Нескінченна диференційовність аналітичної функції. Формули Коші для похідних аналітичної функції. 5. Теорема Морера. Означення аналітичної функції за Коші, Ріманом, Осгудом, Вейєрштрасом та їх рівносильність. Нерівності Коші. Теорема Ліувілля. Основна теорема алгебри. 6. Означення гармонічної функції. Теорема про гармонічність дійсної та уявної частин аналітичної функції. Теорема про існування гармонічної спряженої функції. 7. Теорема єдиності аналітичних функцій. Принцип максимума модуля. Література: [1, 2, 3]. 1. Криві на площині. 2. Обчислення інтегралів вздовж кривих. 3. Обчислення інтегралів вздовж кривих. 4. Обчислення інтегралів за формулою Коші.  
Тема 3.2. Ряди Лорана. 1. Ряд Лорана. Область збіжності ряду Лорана. Теорема Лорана. Класифікація ізольованих особливих точок. Характеристична властивість усувної ізольованої особливої точки. Наслідок про існування границі функції в околі усувної точки. 2. Означення нуля аналітичної функції та його кратності. Подання кратності нуля в термінах похідних. Ізольованість нулів. Теореми про зв'язок між нулем та полюсом. Характеристична властивість полюса. Характеристична властивість істотно особливої ізольованої точки. Теорема Сохоцького. Нескінченна точка як ізольована особлива точка та як нуль аналітичної функції. 3. Означення лишка. Лишок відносно усувної точки. Обчислення лишка відносно полюса. Лишок відносно нескінченної точки. Основна теорема про лишки. Теорема про суму всіх лишків. 4. Застосування лишків до обчислення невласних інтегралів. Література: [1, 2, 3]. 1.Розкладання аналітичних функцій в ряди Тейлора. 2.Розкладання аналітичних функцій в ряди Лорана. 3.Дослідження характеру ізольованих особливих точок. 4.Дослідження характеру ізольованих особливих точок. 5.Обчислення лишків. 6.Обчислення лишків. 7.Обчислення криволінійних і невласних інтегралів за допомогою лишків. 8.Контрольна робота.

 

Література

1. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1967. – 444 с.

2. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. – М.: Наука, 1978. – 1978. – 416 с.

3. Давидов М. О. Курс математичного аналізу. Ч. 3. – К.: Вища школа. – 1992. – 360 с.

4. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного.– М.: Наука, 1971.– 256 с.

5. Давыдов Н. А., Коровкин П. П., Никольский В. Н. Сборник задач по математическому анализу.– М.: Просвещение, 1973.– 256 с.

6. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.– М.: Наука, 1972.– 416 с.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
 | Организационные мероприятия


Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных