Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило Крамера.

ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух квадратных матриц и одного и того же порядка равен произведению их определителей, т.е.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим вспомогательный определитель порядка

Используя теорему Лапласа, вычислим , разлагая его по первым строкам. Так как в них лишь один минор может быть не равен , а его алгебраическое дополнение есть , то . Используя свойство 9 определителей, добьемся, что все элементы обратились в . Для этого столбец умножим на и прибавим к столбцу , и так для каждых и . Получим

Вычислим , разлагая его по последним столбцам. Получим , где .

Тогда и . Но нетрудно проверить, что . □

Пусть и матрицы порядка . Матрица называется обратной для матрицы , если . Матрица называется невырожденной, если .

ЛЕММА (к теореме об обратной матрице).

(а) если имеет обратную матрицу , то - невырожденная;

(б) если обратная матрица для существует, то она единственна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

(а) Имеем . По теореме о произведении определителей получаем . Значит .

(б) Пусть также обратная матрица для . Используя ассоциативность умножения матриц, имеем . □

Оказывается утверждение (а) можно обратить.

ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица - невырожденная матрица, то она имеет обратную матрицу , где

(4)

Иными словами, элемент равен алгебраическому дополнению элемента , деленному на .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Найдем элемент произведения матрицы на указанную матрицу (4). Он равен

.

Но по следствиям 1 и 2 из теоремы Лапласа сумма в скобках равна , если , и равна 0, если . Следовательно . Аналогично, используя замечание после следствия 2, доказывается, что . □

Пример 7.

Дана матрица . Её определитель , поэтому обратная матрица существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы :

;

;

;

;

.

Тогда

Линейным уравнением от неизвестных называется уравнением вида

.

Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида

(5)

Эта СЛУ состоит из уравнений от неизвестных. Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из - свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной. СЛУ (5) можно записать и в матричном виде

(6)

СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных и основная матрица ее невырожденная.

ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение , которое находится по формулам

,

где определитель основной матрицы СЛУ, а получается из в результате замены в столбца на столбец из свободных членов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , то существует обратная матрица . Домножая обе части равенства (6) слева на , получим

(7)

Вспоминая, чему равна матрица и находя произведение в правой части (7) получаем

(8)

Но по следствию 1 из теоремы Лапласа числитель (7) есть , если вычислить , разлагая по столбцу. □

Пример 8. Решить систему уравнений

Решение.

т. о.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.

Вычислить выражения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Вычислить определители:

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

Доказать, что система имеет единственное решение, и найти его методом Крамера:

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58. Определить, при каких значениях a и b система

1) имеет единственное решение;

2) не имеет решений;

3) имеет бесконечно много решений.

Найти обратные матрицы для следующих матриц:

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

Решить матричные уравнения:

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: