ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Вариант №1

1) Построить эмпирическую функцию распределения

2) Группа социологов исследовала влияние стажа работы по профессии на производительность труда рабочих механического цеха некоторого завода. Получены следующие результаты:

Предполагая, что производительность труда рабочих, имеющих различный стаж работы, имеет нормальное распределение: X_i Î N (a _i ;s _i) (i= 1,2,3), причем . Требуется проверить методом дисперсионного анализа нулевую гипотезу Н ₀: а ₁= а ₂ = а ₃ (средняя производительность труда не зависит от стажа работы). Уровень значимости a примем равным 0,05.

3)Найти , S², S₁

4) В условиях примера 3 найти доверительный интервал для среднеквадратического отклонения при g = 0,95.

5) При проверке гипотезы о виде распределения , число степеней свободы n = 9, уровень значимости a = 0,05. Можно ли считать гипотезу принятой?

Решение.

1) Составим интервальный статистический ряд относительных частот (у нас n =60)

	3-6	6-9	9-12	12-15	15-18	18-21
	0,25	0,08	0,22	0,12	0,20	0,13

Для построения графика эмпирической функции распределения F^*(x) найдем сначала ее аналитическое выражение. Для этого вместо интервального ряда будем рассматривать сгруппированный ряд и в качестве x_i будем брать середины интервалов. Тогда по формуле (10) имеем:

Построим график функции F^*(x). Здесь удобно взять разный масштаб на осях координат:

F^*(x)

1

0,8

0,6

0,4

0,2

x

0 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5

Рисунок 4

2) Согласно условию, нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид:

Н ₀: а ₁= а ₂ = а ₃ – производительность труда не зависит от стажа работы;

Н_а: производительность труда зависит от стажа работы.

Вычислим вспомогательные величины, необходимые для определения факторной и остаточной дисперсии: n =n ₁ + n ₂ + n ₃ = 3 + 4 + 5 = 12.

Таким образом, факторная дисперсия равна

.

Остаточная дисперсия равна

Вычислив F _набл., получим

Найдем по таблицам квантилей F – распределения критическое значение F (a, v ₁, v ₂), соответствующее уровню значимости a = 0,05 и числам степеней свободы v ₁= k – 1=2 и v ₂ = n – k= 9. Это значение равно F (0,05; 2; 9) = 4,26. Так как F_набл= 9,66 >4,26, то нулевая гипотеза отвергается, т.е. считается статистически доказанным, что производительность труда зависит от стажа работы.

3) Найдем числовые характеристики реализации выборки. можно найти по формуле (1), однако здесь удобнее воспользоваться формулой:

т.к. =100, имеем,

Для вычисления можно воспользоваться формулой (2), но удобнее ее находить по формуле:

имеем:

Для определения необходимо сначала найти - несмещенную выборочную дисперсию. Она отличается от дисперсии выборки (или иначе ) только множителем

Тогда:

4) Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения будем искать используя (8), найдем по таблице приложения 4 при γ = 0,95 и n = 100 значение q(γ,n), получим q(0,95; 100)=0,143. Тогда

S₁(1 - q) = 4,03(1 - 0,143) = 3,46

S₁(1 + q) = 4,03(1 + 0,143) = 4,61

Доверительным интервалом будет (3,46, 4,61).

5) Проверим гипотезу о виде распределения. По заданным уровню значимости α и числу степеней свободы ν найдем по таблице критических точек распределения χ² значение χ²_0,05;9= 16,9. По условию χ²_набл= 18,4. У нас χ²_набл > χ²_табл, следовательно, гипотеза о виде распределения отвергается.

Вариант № 2

1) Построить гистограмму относительных частот, выдвинуть гипотезу о виде распределения

2) Найти , D_B, S₁

3) Получить уравнение линейной регрессии, сделать чертеж

4) В условиях примера 2 найти доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном ,

5) При проверке гипотезы о показательном распределении , число разрядов 9, уровень значимости . Можно ли считать гипотезу принятой?

Решение.

1) Преобразуем статистический ряд частот в ряд относительных частот. У нас , имеем

	0 - 2	2 - 4	4 - 6	6 - 8	8 - 10	10 - 12	12-14
	0,35	0,25	0,13	0,12	0, 10	0,02	0,03
	0,175	0,125	0,065	0,06	0,05	0,01	0,015

Введем систему координат с разными масштабами на осях. Отложим 7 частичных интервалов с длинами на оси OX и построим на них как на основаниях прямоугольники с высотами (см. рисунок 5).

0,16

0,12

0,08

0,04

0 2 4 6 8 10 12 14

Рисунок 5

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что СВХ распределена по показательному закону (см. рисунок 2).

2) Найдем (см. вариант 1)

= ( =

= (40 + 120 + 195 + 540 + 600 + 480)=19,75

= [8 (5 - 19,75)² + 12 (10 - 19,75)² + 13 (15-19,75)² +

+ 27 (20 - 19,75)² + 24 (25 - 19,75)² + 16 (30 - 19,75)²]=

= (1740,5 + 1140,75 + 293,31 + 1,69 + 661,5 + 1681,0) = 55,19

Для определения сначала найдем несмещенную выборочную дисперсию

тогда

4) Уравнение линейной регрессии имеет вид

Для определения коэффициентов и надо решить систему уравнений (15). Суммы, входящие в эту систему, удобно вычислять в специальной таблице:

В последней строке стоят нужные нам суммы. Подставляя в систему, получим

Решим эту систему методом Крамера

=330-225=105 0,

следовательно система уравнений имеет единственное решение.

=495-135=360

=54-135=-81

,

Следовательно, эмпирическое уравнение регрессии имеет вид

Построим корреляционное поле и график этого уравнения (рисунок 6)

Рисунок 6

Видим, что график уравнения достаточно хорошо описывает экспериментальные данные.

4) Предполагая, что СВ Х распределена по нормальному закону для определения доверительного интервала воспользуемся выражением (7)

У нас , , ,

Величину найдем по таблице приложения 3 руководства /3/, имеем

Тогда доверительный интервал имеет вид

или, после вычислений (17,79; 21,71).

5) При проверке гипотезы о виде распределения надо сравнить полученное по формуле (11) значение с табличным значением . Значение дано в условии задачи.

Для определения по таблице надо знать уровень значимости и число степеней свободы ν.

Уровень значимости по условию задачи равен 0,01. Число степеней свободы найдем по формуле

ν = k–r-1

Число интервалов по условию равно 9, у показательного распределения один параметр, значит .

Тогда ν =9 – 1 - 1 или ν = 7.

Найдем по таблице критических точек распределения , в руководстве /3/ это таблица ПРИЛОЖЕНИЕ 5, имеем . У нас , следовательно, гипотеза о показательном распределении принимается.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: