Это свойство используется для контроля правильности вычислений средней арифметической.

ТЕМА 6. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Назначение средних величин.

Виды средних величин.

Свойства средних величин.

Структурные средние величины (мода и медиана).

Вопрос 1.

Характеристика признаков явлений или общих целей, общих закономерностей процесса, являющейся важнейшей социально-экономической задачей решается при помощи средних величин. Однако эта общая задача должна быть конкретизирована более частными задачами. В экономике можно выделить несколько основных вопросов, решение которых связано с вычислением средних величин:

n характеристика уровня развития явления

n сравнение двух или нескольких уровней

n характеристика изменения уровня, явлений во времени

n выявление и характеристика связей и закономерностей развития явления

n производство расчетов и их оценка в связи с планированием, прогнозированием, балансовыми расчетами и т.д.

С помощью средних величин проводится много аналитических исследований при решении народнохозяйственных задач в целом или по отраслям, когда приводятся важнейшие характеристики состояния и развития отрасли, предприятия и т.д. «Аналитическая сила» средних величин состоит в обобщении соответствующей совокупности типичных, однородных показателей, явлений, процессов. Они позволяют переходить от единичного к общему, от случайного к закономерному, сглаживая различая в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.

Применение средних позволяет охарактеризовать определенный признак совокупности одним числом, несмотря на количественные различия единиц по данному признаку внутри совокупности. Средняя - это величина абстрактная, а не конкретная, т.к. в ней сглаживаются отдельные значения единиц совокупности, имеющие отклонения в ту или иную сторону.

Вопрос 2. Средней величиной называется обобщающая количественная характеристика однородных явлений по какому - либо варьирующему признаку.

Средняя величина (Х) представляет собой отношение абсолютного статистического показателя, который выражает общий объем явлений или признака, к численности совокупности этого явления. Индивидуальные значения признака называются вариантами этого признака и обозначаются Х, а число единиц совокупности, которые указываю на их повторение называются частотами (f) или весами (W).

Различают следующие виды средних величин:

n средняя арифметическая

n средняя гармоническая

n средняя геометрическая

n средняя квадратическая

n структурные средние - мода и медиана.

В теории статистики различают следующие формы средних величин:

n простая форма (не взвешенная)

n сложная (взвешенная)

Средняя арифметическая - наиболее распространенный вид средней, которая может быть выражена при помощи формул:

1. Простая средняя арифметическая исчисляется тогда, когда индивидуальные значения вариантов встречаются по одному или одинаковому числу раз, т.е. когда повторяемость каждого варианта одинакова:

где Х – отдельные варианты признака, n - число единиц в совокупности

2. Взвешенная средняя арифметическая исчисляется тогда, когда отдельные значения признака повторяются, встречаются по несколько раз

где Х – отдельные варианты признака, n - число единиц в совокупности, f – частоты

Частоты принято называть весами, поэтому средняя арифметическая, вычисленная с учетом весов, и получила название взвешенной.

В статистической практике бывают случаи, когда при вычислении средней имеются данные об индивидуальных значениях признака (Х) и его общем объеме в совокупности (w), но не известны частоты (f). В таких случаях среднее значение признака исчисляется по формуле средней гармонической, которая представляет собой величину, обратную средней арифметической из обратных значений вариант.

1. Простая средняя гармоническая имеет следующий вид:

2. Взвешенная средняя гармоническая выражается формулой: где w - объем явления. W = Х * f

Средняя геометрическая величина применяется при расчетах средних темпов роста для рядов динамики и имеет следующий вид:

Средняя квадратическая величина применяется для оценки вариации признака от среднего уровня, при расчете среднего и квадратического отклонения и дисперсии, при расчете коэффициента вариации.

1. Простая средняя квадратическая определяется по формуле:

2. Взвешенная средняя квадратическая: .

Средняя хронологическая величина – средний уровень ряда динамики, т.е. средняя, вычисленная по совокупности значений показателя в разные моменты или периоды времени. Она используется, только если значения показателя представлены за равные промежутки времени.

x₁ + x₂ + x₃ + x_n

X = ______________________

n – 1

Вопрос 3.

Важнейшими свойствами средних величин являются следующие:

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака как от простой, так и от взвешенной средней всегда равна нулю:

Это свойство используется для контроля правильности вычислений средней арифметической.

3. Если все варианты уменьшить или увеличить на одно и тоже число а, то средняя величина уменьшится или увеличится на это же число а:

4. Если варианты признака уменьшить или увеличить в а раз, то средняя увеличится или уменьшится в это же число раз:

5. Если все частоты увеличить или уменьшить в какую-то величину d, то средняя от этого действия не изменится:

Увеличение(уменьшение) всех весов в несколько раз приводит к тому, что во столько же раз изменится и числитель и знаменатель дроби, поэтому значение дроби не изменяется.

Вопрос 4.

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними.

К таким показателям относятся мода и медиана.

Модой или модальной величиной признака в ряду распределения является варианта, имеющая наибольшую частоту.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой.

Ряд распределения женской кожаной обуви магазина:

В данном дискретном ряду модой будет являться 37-й размер обуви, так как он имеет наибольшую частоту покупки (60 раз)).

В интервальном ряду мода определяется по формуле:

,

где Х₀ - нижняя граница или минимальная граница модального интервала.

i - величина модального интервала;

f ₁ - частота интервала, предшествующего модальному;

f ₂ - частота модального интервала;

f ₃ - частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал – это интервал, который имеет наибольшую частоту;

Медиана – это срединное значение признака, которое делит ряд на равные части. Одна часть единиц варьирующего ряда имеет значение варьирующего признака меньше, чем медиана, другая часть - больше.

Для дискретного ранжированного ряда (т. е. построенного в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин) с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда. (Например, пусть мы имеем сведения о стаже работы 5 продавцов магазина: 1, 2, 5, 6, 9 лет. Данный ряд является ранжированным с нечетным числом членов (5 продавцов). Для данного ряда медиана будет равна 5 годам, так как ею в данном ряду является серединная, т.е. 3-я варианта со стажем работы 5 лет.)

Для дискретного ранжированного ряда с четным числом членов медианой будет варианта рассчитанная из двух смежных центральных вариант. (Например, пусть мы имеет сведения о стаже работы 6 продавцов магазина: 1, 3, 4, 5, 7, 9 лет. Данный ряд является ранжированным с четным числом членов (6 продавцов). В этом ряду медиана будет рассчитываться как средняя арифметическая простая из двух смежных центральных вариант, которыми являются стаж работы 4 года и 5 лет. Тогда медиана для данного ряда будет равна (4+5)/2 =4,5 года

Для интервального вариационного ряда медиана будет определяться по формуле: ,

где Х₀ - нижняя граница медианного интервала.

i – величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

- частота медианнного интервала.

Медианный интервал – это интервал, который содержит единицу, находящуюся в середине ранжированного ряда.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: