Случайный процесс как модель реального сигнала

Рассмотренные математические модели детерминиро­ванных сигналов являлись известными функциями време­ни. Их использование позволяет успешно решать задачи, связанные с определением реакций конкретных систем на заданные входные сигналы. Случайные составляющие, всегда имеющие место в реальном входном сигнале, счи­тают при этом пренебрежимо малыми и не принимают во внимание.

Однако единственная точно определенная во времени функция не может служить математической моделью сиг­нала при передаче и преобразовании информации. По­скольку получение информации связано с устранением априорной неопределенности исходных состояний, одно­значная функция времени только тогда будет нести информацию, когда она с определенной вероятностью выбрана из множества возможных функций. Поэтому в качестве моделей сигнала используется случайный процесс. Каждая выбранная детерминированная функция рассматривается как реализация этого случайного про­цесса.

Необходимость применения статистических методов исследования диктуется и тем, что в большинстве практически важных случаев пренебрежение воздействием помехи в процессах передачи и преобразования инфор­мации недопустимо. Считается, что воздействие помехи на полезный сигнал проявляется в непредсказуемых искажениях его формы. Математическая модель помехи представляется также в виде случайного процесса, харак­теризующегося параметрами, определенными на основе экспериментального исследования. Вероятностные свой­ства помехи, как правило, отличны от свойств полезного сигнала, что и лежит в основе методов их разделения.

Учитывая, что все фундаментальные выводы теории информации базируются на указанном статистическом подходе при описании сигналов (и помех), уточним основ­ные характеристики случайного процесса как модели сигнала.

Под случайным (стохастическим) процессом подразу­мевают такую случайную функцию времени , значения которой в каждый момент времени случайны. Конкретный вид случайного процесса, зарегистрированный в опреде­ленном опыте, называют реализацией случайного процес­са. Точно предсказать, какой будет реализация в очеред­ном опыте, принципиально невозможно. Могут быть опре­делены лишь статистические данные, характеризующие все множество возможных реализаций, называемое ансамблем. Ценность таких моделей сигналов в том, что появляется возможность судить о поведении информа­ционной системы не по отношению к конкретной реализа­ции, а по отношению ко всему ансамблю возможных реализаций.

Основными признаками, по которым классифицируют­ся случайные процессы, являются: пространство состоя­ний, временной параметр и статистические зависимости между случайными величинами в разные моменты времени .

Пространством состояний называют множество воз­можных значений случайной величины . Случайный процесс, у которого множество состояний составляет кон­тинуум, а изменения состояний возможны в любые момен­ты времени, называют непрерывным случайным процессом. Если же изменения состояний допускаются лишь в конеч­ном или счетном числе моментов времени, то говорят о непрерывной случайной последовательности.

Случайный процесс с конечным множеством состояний, которые могут изменяться в произвольные моменты времени, называют дискретным случайным процессом. Если же изменения состояний возможны только в конеч­ном или счетном числе моментов времени, то говорят о дискретных случайных последовательностях.

Так как в современных информационных системах предпочтение отдается цифровым методам передачи и пре­образования информации, то непрерывные сигналы с дат­чиков, как правило, преобразуются в дискретные, описываемые дискретными случайными последователь­ностями. Вопросы такого преобразования рассмотрены в гл. 4

Среди случайных процессов с дискретным множеством состояний нас будут интересовать такие, у которых статис­тические зависимости распространяются на ограниченное число k следующих друг за другом значений. Они назы­ваются обобщенными марковскими процессами к-го по­рядка.

В ряде практически важных задач случайный процесс наряду с вероятностным описанием можно описать совокуп­ностью неслучайных числовых характеристик, постоянных или меняющихся во времени. От этих характеристик требуется, чтобы в условиях конкретно поставленной задачи они отра­жали самое существенное случайного процесса. Вероятностными характеристиками совокупности большого числа реализаций (ансамбля реализаций) являются законы распределения, которые могут быть получены теоретически или на основе экспериментальных данных.

Законы распределения являются достаточно полными характеристиками случайного процесса. Однако они сложны и требуют для своего определения обработки большого экспериментального материала. Кроме того, такое подробное описание процесса не всегда бывает нужным. Для решения многих практических задач достаточно знать более простые (хотя и менее полные) характеристики случайного процесса. Такими характеристиками являются средние значения и функция корреляции случайного процесса.

Имеется несколько различных подходов к тому, как вводить вероятностную меру на множестве реализаций. Для инженерных приложений оказывается удобным определение случайного процесса как та­кой функции времени x (t), значение которой в каждый данный момент является случайной величиной. Случайная величина полностью характе­ризуется распределением вероятностей, например плотностью P ₁(x ₁ |t ₁);однако, чтобы охарактеризовать случайный процесс, нужно описать, свя­заны ли (и если да, то как) значения реализации, разделенные некото­рыми интервалами времени. Так как связь только двух таких значений, описываемая распределением второго порядка Р ₂(х ₁, x ₂ |t ₁, t ₂), может неполно характеризовать процесс в целом, вводят распределения треть­его, четвертого,..., n -го порядков: Р_п (х _1,..., х_п | t ₁,.... t_n). В конкрет­ных задачах обычно ясно, до какого порядка следует доходить в описа­нии процесса.

В ряде практически важных задач случайный процесс наряду с вероятностным описанием можно описать совокуп­ностью неслучайных числовых характеристик, постоянных или меняющихся во времени. От этих характеристик требуется, чтобы в условиях конкретно поставленной задачи они отра­жали самое существенное случайного процесса.

Вероятностные характеристики случайного процесса. В соответствии с определением случайный процесс может быть описан системой N обычно зависимых слу­чайных величин ,..., ,..., , взятых в различные моменты времени ... ... . При не­ограниченном увеличении числа N такая система экви­валентна рассматриваемому случайному процессу . Исчерпывающей характеристикой указанной системы является N -мерная плотность вероятности . Она позволяет вычислить вероятность реализации, значения которой в моменты времени , ,..., будут находиться соответственно в интервалах ,..., ,.... , где — значение, принимаемое случайной величиной .

Если выбраны достаточно малыми, то справедливо соотношение

Получение N -мерной плотности вероятности на основе эксперимента предполагает статистическую обработку реализаций, полученных одновременно от большого числа идентичных источников данного случайного про­цесса. При больших N это является чрезвычайно тру­доемким и дорогостоящим делом, а последующее использование результатов наталкивается на существенные математические трудности.

На практике в таком подробном описании нет необ­ходимости. Обычно ограничиваются одно- или двумерной плотностью вероятности.

Одномерная плотность вероятности случай­ного процесса U(t) характеризует распределение одной случайной величины , взятой в произвольный момент времени . В ней не находит отражения зависимость случайных величин в различные моменты времени.

Двумерная плотность вероятности позволяет определить вероятность совместной реали­зации любых двух значений случайных величин и в произвольные моменты времени и и, следова­тельно, оценить динамику развития процесса. Одномер­ную плотность вероятности случайного процесса U(t) можно получить из двумерной плотности, воспользовав­шись соотношением

, (3.26)

Использование плотности вероятности даже низших порядков в практических приложениях часто приводит к неоправданным усложнениям. В большинстве случаев оказывается достаточно знания простейших характерис­тик случайного процесса, аналогичных числовым харак­теристикам случайных величин. Наиболее распростра­ненными из них являются моментные функции первых двух порядков: математическое ожидание и дисперсия, а также корреляционная функция.

Математическим ожиданием случайного процесса U(t) называют неслучайную функцию времени , которая при любом аргументе равна среднему значению слу­чайной величины по всему множеству возможных реализаций:

, (3.27)

Степень разброса случайных значений процесса от своего среднего значения для каждого харак­теризуется дисперсией :

, (3.28)

где — центрированная случайная величина.

Дисперсия в каждый момент времени равна квадрату среднеквадратического отклонения :

. (3.29)

Случайные процессы могут иметь одинаковые матема­тические ожидания и дисперсии, однако резко различаться по быстроте изменений своих значений во времени.

Для оценки степени статистической зависимости мгно­венных значений процесса U(t) в произвольные моменты времени и используется неслучайная функция аргументов , называемая автокорреляционной или просто корреляционной функцией.

При конкретных аргументах и она равна корре­ляционному моменту значений процесса и :

. (3.30)

Через двумерную плотность вероятности выражение (3.30) представляется в виде

. (3.31)

В силу симметричности этой формулы относительно аргументов справедливо равенство

(3.32)

Для сравнения различных случайных процессов вместо корреляционной функции удобно пользоваться нормиро­ванной функцией автокорреляции:

(3.33)

Из сравнения (1.69) и (1.70) следует, что при произ­вольном = автокорреляционная функция вырожда­ется в дисперсию:

(3.34)

а нормированная функция автокорреляции равна еди­нице:

(3.35)

Следовательно, дисперсию случайного процесса мож­но рассматривать как частное значение автокорреляцион­ной функции.

Аналогично устанавливается мера связи между двумя случайными процессами U(t) и V(t). Она называется функцией взаимной корреляции:

(3.36)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: