Методические указания по решению задач

Задание 1. В партии из изделий изделий имеют скрытый дефект (табл. 1). Какова вероятность того, что из взятых наугад изделий изделий являются дефектными?

Вариант

Решение:

Вероятность определяется как отношение количества благоприятных элементарных исходов к общему числу элементарных исходов.

В данном случае эти количества вычисляются с помощью формул комбинаторики:

Задание 2. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: с первого завода, со второго, с третьего (табл. 2). Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе , на втором , на третьем . Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

Вариант
		0,9		0,9		0,8

Решение:

Гипотезы: - взятое случайным образом изделие изготовлено на -ом заводе ().

Значит,

Для вычисления вероятности события (взятое случайным образом изделие является качественным) необходимо определить условные вероятности .

По условию задачи - известны, т. е.

, ,

Полная вероятность события вычисляется по формуле:

Задание 3. Дано распределение дискретной случайной величины (табл. 3). Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Вариант	Числовые данные
		-6	-2
	0,2	0,4	0,1	0,3

Решение:

Задание 4. В городе имеется оптовых баз (табл. 4). Вероятность того, что товар требуемого сорта отсутствует на этих базах одинакова и равна . Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

Вариант
		0,15

Решение:

В данной задаче случайной величиной является число баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент. Очевидно, принимает значения: 0, 1, 2, 3.

Вероятность каждого из перечисленных событий вычисляется по формуле Бернулли:

, ()

.

Очевидно, что погрешность вычислений из-за округления составляет 0,1%

Задание 5. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно , среднее квадратичное отклонение равно (табл. 5). Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале .

Вариант

Решение:

Плотность нормального распределения определяется формулой

Вероятность попадания случайной величины в интервал находится по формуле:

Где - интегральная функция Лапласа.

Очевидно, интегральная функция Лапласа является нечетной функцией:

Значения интегральной функции Лапласа представлены в таблицах.

.

Задание 6. Найти линейную среднеквадратичную регрессию случайной величины на случайную величину на основе заданного закона распределения двумерной случайной величины (табл. 6).

Вариант	Числовые данные
	0,10	0,20	0,15
	0,05	0,14	0,11
	0,12	0,08	0,05

Решение:

Линейной среднеквадратичной регрессией на называется функция вида:

,

где , ,

, ,

, ,

- коэффициент корреляции,

- ковариация величин и .

Находим вероятности значений :

Находим вероятности значений :

Находим и :

Вычисляем и :

Находим и :

Откуда , .

Определим

,

,

,

Тогда ,

.

Задание 7. По выборке (табл. 7) построить вариационный ряд. Определить размах выборки, выборочную среднюю, моду и медиану.

Решение:

Вариационный ряд:

0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9

или

, ,

- размах выборки.

Выборочная средняя определяется по формуле:

.

Модой называют элемент выборки, имеющий наибольшую частоту. В нашем случае .

Медианой называют число , которое делит вариационный ряд на две части, содержащее равное количество элементов. Если объем выборки - нечетное число (), то , т.е. является средним элементом вариационного ряда. Если четное число (), то .

.

Задание 8. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным (табл. 8), где - частота попадания вариант в промежуток .

Вариант
		11-14
	14-17
	17-20
	20-23
	23-26

Решение:

Длина каждого интервала . Объем выборки . Подсчитаем значения :

	11-14	14-17	17-20	20-23	23-26
	0,02	0,053	0,093	0,1	0,067

Гистограмма данного распределения имеет вид:

Задание 9. Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки (табл. 9).

Вариант	Распределение

Решение:

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

.

Для расчетов можно также использовать и следующую формулу:

где - выборочная средняя квадратов вариант выборки.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой.

- несмещенная или «исправленная» выборочная дисперсия.

Вычислим выборочную среднюю данной выборки:

Вычислим выборочную среднюю квадратов вариант данной выборки:

Вычислим выборочную дисперсию:

Вычислим несмещенную выборочную дисперсию:

Задание 10. При уровне значимости проверить гипотезу о равенстве дисперсии двух нормально распределенных случайных величин и на основе выборочных данных (табл. 10) при альтернативной гипотезе .

Вариант

Решение:

Вычислим «исправленные» выборочные дисперсии и . Для этого вначале найдем и :

Тогда

Учитывая, что определяем

Критическое значение находим из условия

По таблице -распределения определяем .

Т.к. число попадает в критическую область , то гипотезу о равенстве дисперсий отвергаем. Следовательно, принимается альтернативная гипотеза .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: