Теоретические положения метода уравнений Кирхгофа.

Универсальным методом анализа ЭЦ является использование законов Кирхгофа, устанавливающих закономерности электрического равновесия в электрических цепях (закон сохранения энергии).

Первый закон Кирхгофа устанавливает взаимосвязь токов для любого узла ЭЦ. Поскольку в любой ЭЦ, у которой р ветвей и q узлов, число независимых узлов m = q–1, то число линейно независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, также равно m.

Второй закон Кирхгофа устанавливает взаимосвязь напряжений в любом контуре ЭЦ. Поскольку в любой ЭЦ, у которой р ветвей и q узлов, число независимых контуров n = р–m, то число линейно независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, также равно n.

Следовательно, общее число линейно независимых уравнений для любой ЭЦ равно m+n = р, т.е. соответствует общему числу неизвестных токов в ветвях.

Пример расчета электрической цепи
с использованием метода уравнений Кирхгофа

В качестве примера рассмотрим цепь, схема которой приведена на рисунке 1. Схема цепи содержит 6 ветвей (m=6) и 4 узла: a, b, c, d (n=4). По каждой ветви проходит свой ток, следовательно число неизвестных токов равно числу ветвей, и для определения токов необходимо составить m уравнений. При этом по первому закону Кирхгофа составляют уравнения для (n–1) узлов. Недостающие m–(n–1) уравнения получают по второму закону Кирхгофа, составляя их для m–(n–1) взаимно независимых контуров.

Рисунок 1.

1. Обозначим токи во всех ветвях. Направление токов выбираем произвольно, но в цепях с источниками ЭДС рекомендуется, чтобы направление токов совпадало с направлением ЭДС.

2. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Выбираем 4–1=3 узла (a, b, c) и для них записываем уравнения:

узел a: I₁ - I₂ - I₃ = 0;

узел b: I₂ - I₄ + I₅ = 0;

узел c: I₄ - I₅ + I₆ = 0. ток должен быть отрицательным

3. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. Необходимо составить 6–3=3 уравнения. В схеме на рисунке 1 выбираем контура I, II, III и для них записываем уравнения:

контур I: I₁(r₀₁ + R₁) + I₃R₃ = E₁;

контур II: I₂R₂ + I₄R₄ + I₆R₇ - I₃R₃ = 0;

контур III: -I₅(r₀₂ + R₅ + R₆) - I₄R₄ = -E₂.

Таким образом, получаем систему из 6 уравнений с 6 неизвестными:

4. Решаем полученную систему уравнений. Решение системы из шести уравнений – достаточно трудоемкая задача, поэтому решение подобных задач стремятся выполнять на ЭВМ, для чего эти уравнения требуется формализовать в матричной форме.

Уравнения (3) можно представить в матричной форме. Тогда для заданной ЭЦ решение системы (3) будет иметь вид

Полученная система из шести уравнений решается известными математическими методами, например методом Крамера. Суть данного метода заключается в том, что для системы n линейных уравнений с n неизвестными

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля

решение записывается в виде

(i -ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

Для рассматриваемого примера

тогда

,

.

Значения токов I₃ – I₆ определяют аналогичным образом и записываются в таблицу (например – таблица 3).

Если в результате расчетов численное значение тока получено со знаком «минус», это означает, что реальное направление тока данной ветви противоположно принятому в начале расчета.

Варианты заданий

Принципиальные схемы для расчета приведены в таблице 1, варианты заданий и номинальные значения элементов и ЭДС источников в таблице 2. Пользуясь приведенными данными произвести расчет цепи, как было указано выше.

Таблица 1

Таблица 2

При проведении математических расчетов допускается использование программы математического моделирования MathCAD.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: