Основные формулы сферической тригонометрии

Для решения многих задач судовождения используются формулы сферической тригонометрии. На основе таких формул составляются, например, уравнения изолиний и градиентов некоторых навигационных параметров; задачи на определение места судна; определяются величины углов и сторон параллактического треугольника с целью получения координат места судна и поправки компаса методами мореходной астрономии и многого другого.

Задачей сферической тригонометрии является установление зависимостей между сторонами и углами сферического треугольника. Сферический треугольник считается заданным, если известны какие-либо три его элемента. Под решением треугольника понимают определение неизвестных его элементов. В большинстве случаев решение выполняется по так называемым основным формулам, к которым относятся:

· формула (теорема) косинуса стороны;

· формула (теорема) косинуса угла;

· формула (теорема) синусов;

· формула котангенсов, называемая так же формулой четырёх рядом лежащих элементов;

· формула пяти элементов.

В некоторых случаях возникает необходимость использования дополнительных формул, к которым относятся:

· формулы полупериметра;

· формулы Деламбра-Гаусса;

· аналогии (пропорции) Непера.

Эти группы формул имеют некоторые преимущества:

1) логарифмируются, поэтому не требуют применения таблиц сумм и разностей;

2) искомые углы получаются по самым выгодным функциям – тангенсам, т.е. дают наименьшие ошибки при вычислении угла;

3) выбор четверти искомых углов происходит уже в решении, следовательно, отпадает необходимость анализа формулы на знаки.

Формула косинуса стороны (теорема косинусов): в сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними.

Формула косинуса стороны связывает стороны и один из углов сферического треугольника. Всего этих формул три:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B (3.1)

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

Формула косинуса угла (теорема косинусов для полярного треугольника): в сферическом треугольнике косинус угла равен отрицательному произведению косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих углов на косинус стороны между ними.

Формула косинуса угла связывает углы и одну из сторон сферического треугольника. Всего этих формул так же три:

cos А = - cos B cos C + sin B sin C cos a

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b (3.2)

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c

Формула котангенсов (формула четырёх рядом лежащих элементов): произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны минус произведение косинусов средних элементов.

Формула связывает четыре элемента лежащих подряд.

ctg A sin B = ctg a sin c – cos c cos B

ctg A sin C = ctg a sin b – cos b cos C

ctg B sin A = ctg b sin c – cos c cos A (3.3)

ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C

ctg C sin A = ctg c sin b – cos b cos A

ctg C sin B = ctg c sin a – cos a cos B

Формула синусов (теорема синусов): в сферическом треугольнике синусы сторон пропорциональны синусам противолежащих углов.

(3.4)

Аналогии Непера:

По аналогиям Непера в сочетании с теоремой синусов обычно производится решение двух типов задач на косоугольный сферический треугольник – когда известны две стороны и противолежащий одной из них угол, или два угла и противолежащая одному из них сторона. Как уже указывалось выше, применение этих типов формул позволяет отыскивать неизвестные элементы без применения логарифмов сумм и разностей. Однако применение только этих двух групп формул приводит к необходимости при расчёте некоторых неизвестных элементов использовать ранее найденные элементы.

Чтобы не использовать ранее найденные элементы последних двух типов задач, можно воспользоваться следующим алгоритмами:

Когда известны две стороны и противолежащий одной из них угол, например a, b, A, вычисляются вспомогательные величины G и H:

ctg G = cos A tg b

tg H = tg A cos b

После чего вычисляются неизвестные величины по формулам:

sin B = sin A sin b cosec a

sin (c-G) = cos a sec b sin G (3.6)

sin (C+H) = ctg a tg b sin H

Когда известны два угла и противолежащая одному из них сторона, вычисляют вспомогательные величины K и M:

ctg K = cos a tg B

tg M = tg a cos B

После чего вычисляются неизвестные величины по формулам:

sin b = sin a sin B cosec A

sin (C-K) = cos A sec B sin K (3.7)

sin (c+M) = ctg A tg B sin M

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: