Если ввести вектор-столбец

, (1.19)

называемый вектором Джонса, то он, как следует из (1.18), будет полностью описывать вектор электромагнитного поля с точностью до коэффициента , характеризующего пространственно-временное изменение.

Покажем, что вектор Джонса характеризует состояние поляризации излучения. Согласно определению, тип поляризации света характеризуется кривой, представляющей собой проекцию годографа вектора на плоскость волнового фронта, т.е. в нашем случае на плоскость . (Здесь и в дальнейшем термин "свет" мы будем понимать в широком смысле слова, как электромагнитную волну в оптическом диапазоне частот.)

Рассмотрим световую волну, заданную в форме (1.17). Для нахождения формы искомой кривой исключим из этих соотношений параметр . Непосредственно из (1.17) получим

. (1.20)

Умножив первое выражение на , второе - на , после вычитания получим

. (1.21)

Затем, умножив первое выражение в (1.20) на , второе – на и вычитая, получим другое соотношение:

. (1.22)

Возводя (1.21) и (1.22) в квадрат и складывая, получим

, (1.23)

где - разность фаз между компонентами и вектора .

Как следует из выражения (1.23), искомая кривая представляет собой эллипс, вписанный в прямоугольник со сторонами (рис.2), следовательно, при произвольном значении поляризация света - эллиптическая.

Определим теперь направление вращения вектора при распространении волны вдоль оси , т.е. при изменении параметра . Для этого зафиксируем такое значение параметра, , при котором , т.е. .Тогда из (1.17) получим

.

Следовательно, при конец вектора находится в точке 1, а при - в точке 2. После этого определим элементарное изменение компоненты вектора при изменении параметра в диапазоне от до . Из формулы (1.17) имеем

,

следовательно, при увеличении параметра от обеих точек 1 и 2 конец вектора смещается влево. Таким образом, направление вращения вектора определяется только значением разности фаз : при происходит вращение по часовой стрелке (соответствующую поляризацию называют правой), при - против часовой стрелки (соответствующую поляризацию называют левой).

Рассмотрим частные случаи эллиптической поляризации:

1) , где . Тогда и соотношение (23) принимает вид

,

т.е. эллипс вырождается в отрезок прямой, являющейся диагональю упомянутого выше прямоугольника (рис. 3). При четных значениях прямая располагается в первом и третьем квадрантах, при нечетных - во втором и четвертом. Соответствующую поляризацию света называют линейной;

2) , где . Уравнение (23) в этом случае будет приведено к виду

,

а это есть каноническое уравнение эллипса с осями, расположенными вдоль координатных осей (рис. 4). При эллипс вырождается в круг - и поляризацию называют круговой, или циркулярной.

Полезно проследить, как меняется состояние поляризации света при изменении значения разности фаз между компонентами и волны. Соответствующие изменения представлены на рис. 5.

Итак, мы показали, что состояние поляризации полностью определяется амплитудами и колебаний вектора по осям и соответственно и разностью фаз . Введенный ранее вектор Джонса зависит от тех же параметров, следовательно, он также однозначно определяет поляризацию света.

Преобразуем вектор Джонса к виду, более удобному для практического использования. Поскольку характер поляризации определяется разностью фаз , формулу (1.19) удобнее представить в виде

, (1.24)

Начальная фаза не влияет на поляризацию света, и ее в большинстве случаев можно задавать произвольно, в частности, половить равной нулю. Тогда

. (1.25)

Введем величину , называемую интенсивностью световой волны; по определению,

.

В последнем выражении - эрмитово-сопряженный вектор Джонса, т.е. вектор-строка, компоненты которого комплексно-сопряжены исходному вектору. Введем вспомогательный угол , такой, что . (см. рис. 2). Тогда после очевидных преобразований формулу (125) можно записать как

. (1.26)

Форма представления (26) вектора Джонса наиболее удобна, поскольку дает возможность выделить интенсивность волны, которая в большинстве случаев может быть принята равной единице.

В качестве примеров рассмотрим некоторые частные случаи вектора Джонса:

- линейно поляризованный свет единичной интенсивности с азимутом колебаний (направление колебаний вектора составляет угол с осью );

- свет с правой круговой поляризацией; интенсивность света ;

- свет с левой круговой поляризацией; интенсивность света .

1.4. Определение параметров эллипса поляризации

Определим параметры эллипса поляризации, если вектор Джонса задан произвольными значениями, и . Эллипс поляризации будем характеризовать размерами его полуосей и (см. рис. 2) и углом поворота одной из полуосей относительно введенной системы координат. Прежде всего, отметим, что при повороте системы координат компоненты вектора Джонса преобразуются так же, как декартовые координаты, т.е.

, (1.27)

где - вектор Джонса в новой системе координат , повернутой относительно "старой" системы координат на угол ;

- (1.28)

- матрица поворота.

Перейдем в новую систему координат , совмещенную с полуосями и эллипса поляризации. Для этого воспользуемся выражениями (1.27) и (1.28), половив в них , тогда

1.29

Полученный вектор Джонса также целесообразно выразить через вспомогательный угол , определяемый выражением :

,

где , - аргументы компонент вектора ,

,

;

и - модули компонент вектора ,

,

В системе координат разность фаз между компонентами , поэтому

, т.е. ,

следовательно,

Отсюда после несложных преобразований получим

. (1.30)

Найденное выражение определяет угол поворота осей эллипса поляризации относительно оси .

Теперь необходимо определить вспомогательный угол . Для этого преобразуем сначала и . Раскрыв скобки и, использовав соотношения ; , получим

,

.

С учетом этих соотношений

Выражение

(1.31)

определяет угол , следовательно, соотношение между полуосями эллипса поляризации . Значения и полуосей эллипса можно рассчитать, если учесть очевидный инвариант

. (1.32)

Таким образом, вектор Джонса полностью характеризует поляризацию световой волны. Из выражений (1.30) - (1.32) можно определить все необходимые параметры эллипса поляризации: , и . Уравнения (1.30) и (1.31) называют основными уравнениями поляризационной оптики.

1.5. Матрицы Джонса поляризационных элементов

Существует три основных типа поляризационных элементов, которые мы рассмотрим феноменологически, не вдаваясь в физические особенности происходящих процессов. Подробнее об этом будет рассказано в следующем разделе.

1. Идеальный поляризатор - поляризационный элемент (рис. 6а), пропускающий электромагнитные волны, колебания вектора, в которых происходят в одной плоскости , называемой главной плоскостью поляризатора. Если колебания вектора с амплитудой происходят под некоторым углом к главной плоскости, то поляризатор пропускает лишь соответствующую составляющую . При пропускание поляризатора равно нулю. В системе координат поляризатор характеризуется угловым положением главной плоскости относительно оси . При использовании двух поляризаторов в какой-либо оптической системе последний из них по ходу луча часто называют анализатором.

2. Поляризационный вращатель - поляризационный элемент, осуществляющий поворот плоскости колебаний вектора падающей световой волны (рис. 6б). Если на входе поляризационного вращателя вектор колеблется в плоскости , то на выходе он будет колебаться в плоскости , составляющей угол с плоскостью .

3. Фазовая пластинка - элемент, осуществляющий поляризационные преобразования световой волны: вектор падающей волны раскладывается по двум ортогональным осям и (рис. 6в), называемым главными осями фазовой пластины; в фазовой пластине распространяется уже две линейно и взаимно ортогонально поляризованные волны с амплитудами и , причем одна из волн, в данном случае поляризованная вдоль оси , распространяется с большей скоростью , нежели другая, скорость которой (поэтому ось часто называют "быстрой" осью).

В результате на толщине фазовой пластинки между ортогональными колебаниями на выходе возникает разность фаз , существенно изменяющая поляризационное состояние волны. В системе координат фазовая пластинка характеризуется двумя параметрами: угловым положением "быстрой" оси относительно оси и вносимым фазовым сдвигом .

Каждый поляризационный элемент осуществляет линейные преобразования компонент вектора Джонса световой волны, поэтому ему можно поставить в соответствие некоторую поляризационную матрицу.

Пусть вектор Джонса исходной световой волны

,

где и - в общем случае комплексные числа, а на выходе поляризационного элемента вектор Джонса имеет вид

.

В случае линейных преобразований компонент справедливы равенства

где , , - коэффициенты, определяемые типом поляризационного элемента.

Связь между и с учетом (1.35) можно записать в матричной форме:

,

где - матрица Джонса поляризационного элемента.

Определим матрицы рассмотренных выше поляризационных элементов.

1. Матрица Джонса идеального поляризатора . Пусть падающая на поляризатор волна является линейно поляризованной, амплитуда колебаний равна , а направление колебаний составляет угол с осью (см. рис. 6а). Тогда компоненты вектора Джонса волны имеют вид , . Через поляризатор пройдет лишь составляющая этой волны, амплитуда которой имеет вид

.

Проекции на оси и вектора этой волны, т.е. компоненты вектора Джонса на выходе, будут

,

.

Сравнивая два последних выражения с (1.33), получим матрицу Джонса идеального поляризатора:

. (1.34)

2. Матрица Джонса поляризационного вращателя . Пусть плоскость колебаний падающей на вращатель линейно поляризованной волны с амплитудой совпадает с осью (см. рис. 6б), тогда вектор Джонса этой волны есть . По выходе из поляризационного вращателя световая волна, вектор Джонса которой равен , представляет собой линейно поляризованную волну с амплитудой , плоскость колебаний которой совпадает с плоскостью , повернутой на угол относительно оси . Следовательно, в системе координат , повернутой также на угол , получим

.

откуда немедленно следует

. (1.35)

3. Матрица Джонса фазовой пластинки . Сначала в качестве исходной волны возьмем линейно поляризованную волну с амплитудой , плоскость колебаний которой совпадает с "быстрой" осью фазовой пластинки (см. рис. 6в). Тогда ее компоненты в системе координат имеют вид , . Поскольку в этом случае фазовая пластинка не вносит никаких изменений, компоненты волны останутся на выходе такими же, как и на входе, т.е. , . Подставив компоненты волны в соотношение (1.33), получим выражения

,

,

из которых найдем два соотношения, связывающие элементы матрицы Джонса фазовой пластинки:

, . (1.36)

Теперь в качестве исходной возьмем ту же волну с плоскостью колебаний, совпадающей с осью . Для этой волны справедливо равенство

.

Рассмотрим теперь компоненты этой волны по осям и . Перейдем к новой системе координат , повернутой на угол относительно системы :

.

Вектор Джонса на выходе фазовой пластинки в системе получим, умножив вторую компоненту на , поскольку составляющая по оси отстает по фазе от составляющей по оси на , т.е.

.

Вернемся теперь к первоначальной системе координат . Для этого воспользуемся матрицей поворота :

;

с другой стороны, можно записать

.

Сравнивая выражения для , получим

(1.37)

Используя соотношения (1.36) и (1.37), после простых преобразований найдем два оставшихся элемента матрицы:

Таким образом, матрица Джонса для фазовой пластинки имеет вид

.

В табл. 2 представлены матрицы Джонса идеального поляризатора для ряда частных случаев: для сокращения записи приняты обозначения: , , , , , где - угол ориентации главной плоскости поляризатора или "быстрой" оси фазовой пластинки относительно оси (матрица Джонса поляризационного вращателя от ориентации не зависит); - фазовый сдвиг одной из взаимно ортогональных составляющих волны на выходе фазовой пластинки.

Рассмотрим теперь случай, когда световая волна, заданная вектором Джонса , последовательно проходит через приборов, матрицы Джонса которых (соответственно ) известны. После первого прибора вектор Джонса световой волны , после второго и т.д. Очевидно, на выходе всей системы получим

,

где - матрица Джонса системы, определяемая произведением матриц отдельных приборов в обратном порядке, т.е.

.

В заключение отметим, что если для некоторого поляризационного прибора матрица Джонса известна, то при его повороте на

угол матрица Джонса определяется следующим образом:

,

где - матрица поворота (1.28).

Таблица 2

Матрица Джонса идеального линейного поляризатора и фазовой пластинки.

Тип элемента

Идеальный линейный поляризатор

Четвертьволновая фазовая пластина

Полуволновая фазовая пластина

Фазовая пластина с произвольным

*) Для четвертьволновой фазовой пластины при матрицу можно умножить на , при этом получим .

1.6. Задачи и примеры

1. Используя соотношение (1.38), выведите матрицы Джонса идеального линейного поляризатора и фазовой пластинки для произвольного при известных соответствующих матрицах при (см. табл. 1), т.е. докажите, что

,

.

Предлагаем читателю в качестве упражнения самостоятельно убедиться в справедливости этих равенств.

2. Вдоль оси распространяется световая волна, компоненты которой изменяются по законам

.

Запишите вектор Джонса волны. Рассчитайте параметры эллипса поляризации, сделайте рисунок.

Решение. Имеем , интенсивность волны . Для определения разности фаз запишем сначала компоненту в виде , следовательно, . Определим теперь вспомогательный угол , т.е. . Таким образом, вектор Джонса имеет вид

. 2.

Определим параметры эллипса поляризации:

,

, - угол наклона оси,

,

, .

Следовательно, отношение полуосей эллипса Эллипс поляризации представлен на рис. 7.

3. Эллиптически поляризованный свет с правым вращением вектора и полуосями и проходит через идеальный поляризатор, вращающийся вокруг оси прохождения света с частотой . Определите частоту изменения интенсивности света на выходе поляризатора, максимальную и минимальную интенсивности.

Решение. Будем считать, что большая ось эллипса горизонтальна, тогда вектор Джонса падающего на поляризатор излучения можно записать в виде

,

где , .

Вектор Джонса волны на выходе поляризатора

,

где .

По определению, интенсивность света на выходе

после перемножения получим

,

следовательно, интенсивность света на выходе изменяется по гармоническому закону около среднего значения с частотой . Максимальное и минимальное значения интенсивности соответственно

,

.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>

Оптические дисперсии | Пожалуйста, уважайте чужой труд! 1 страница

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: